Действия над приближенными значения чисел

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 18Следующая ⇒

Сложение приближенных значений чисел

Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:

где и – приближенные значения чисел; и – границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле

Вычитание приближенных значений чисел

где и – приближенные значения чисел; и – границы абсолютных погрешностей соответствующих приближений.

Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле

Умножение, деление,возведение в степень приближенных значений чисел и извлечение из них корня

Формулы для оценки границ абсолютной погрешности произведения (частного сложны, поэтому на практике сначала находят относительную погрешность произведения (частного), а затем погрешности произведения (частного). Формулы для границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций приведены в таблице.

Функция	Граница абсолютной погрешности	Граница относительной погрешности	Номер формулы
			2.5
			2.6
			2.7
			2.8
			2.9
			2.10
			2.11
			2.12

Примеры.

1. Даны приближенные значения числа ; ; ; . Какое из этих трех приближений является лучшим?

Решение. Находим:

Лучшим приближением числа является

2. Длина детали заключена в границах Найдите границу абсолютной погрешности измерения детали.

Решение. Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое границ: Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет Величину можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т. е. Длина детали , найденная с точностью до , заключена между приближенными значениями числа :

3. Найдите границу абсолютной погрешности приближенного значения числа , все цифры которого верны в строгом смысле.

Решение. Граница абсолютной погрешности этого числа равна , т. е. половине единицы последнего разряда, сохраняемого в записи.

4. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чисел:

Решение. 1) Граница погрешности не превосходит единицы разряда десятых (неравенство верное). Следовательно, верными являются цифры и .

2) Так как , то все цифры приближенного числа верны.

3) Поскольку , верными являются цифры и .

4) Так как , то верны цифры , и .

5. За приближенное значение числа взято число . Являются ли цифры числа верными?

Решение. Так как , то цифры и – верные в строгом смысле.

6. Приближенное значение числа округлить до первого справа верного разряда.

Решение. Первая справа верная цифра находится в разряде десятых, поэтому число округляем до десятых: . Новое значение границы погрешности сумме границы погрешности и погрешности округления , т. е. . Число является приближенным значением числа с точностью до . Цифры и верные.

7. В результате измерений получили, что длина карандаша равна см, а длина комнаты см. Что можно сказать о качестве двух измерений?

Решение. Будем считать границу абсолютной погрешности измерений равной Найдем относительные погрешности этих измерений:

Следовательно, качество измерения длины комнаты значительно выше, чем качество измерения длины карандаша.

8. Найдите относительную погрешность числа , если обе цифры его верны в строгом смысле.

Решение. По условию, ; поэтому

9. Какие цифры числа являются верными?

Решение. По формуле находим

Верными являются две первые цифры: и .

10. При вычислении некоторой величины стало известно, что Сколько верных цифр нужно взять, чтобы приближенное значение имело относительную погрешность не больше ?

Решение. Чтобы значение было наибольшим, примем . По формуле ) получим Следовательно, нужно взять две верные цифры.

11. Найдите сумму приближенных значений чисел

Решение. Имеем

Граница абсолютной погрешности заключена в пределах В приближенном значении суммы верными являются лишь две цифры (в разрядах десятков и единиц).Полученный результат округлим до единиц:

12. Вычислить разность двух приближенных значений чисел Найдите

Решение. По формуле вычислим границу абсолютной погрешности разности

В приближенном значении разности цифра в разряде тысячных не может быть верной, так как Итак, Абсолютная погрешность разности . В приближенном числе все цифры верные.

По формуле находим относительную погрешность разности:

13. Найдите верные цифры произведения приближенных значений чисел

Решение. Имеем Границы абсолютной погрешности сомножителей равны и . По формуле находим относительную погрешность произведения:

По формуле (1.2) находим границу абсолютной погрешности произведения:

Полученный результат означает, что в произведении одна верная цифра (в разряде десятых):

14. Вычислите объем цилиндра если Укажите верные цифры ответа.

Решение. Имеем Используя формулы и и полагая находим относительную погрешность:

По формуле находим границу абсолютной погрешности

Верными цифрами являются и .

15. Найдите границу абсолютной погрешности частного приближенных значений чисел

Решение. Имеем По формуле находим относительную погрешность частного:

По формуле находим границу абсолютной погрешности частного:

Полученный результат означает, что в частном все три цифры верные.

16. Вычислите , если известно, что

Решение. Находим:

17. Вычислите относительную погрешность, допущенную при вычислении площади квадрата, если приближенное значение стороны квадрата равно

Решение. По формуле получим

18. Вычислите относительную погрешность, допущенную при извлечении квадратного корня из числа

Решение. По формуле получим

19. Вычислите границу абсолютной погрешности при нахождении гипотенузы прямоугольного треугольника, катеты которого равны

Решение. Имеем По формулам и находим границу абсолютной погрешности:

Таким образом, Верными являются первые две значащие цифры и .

20. С какой точностью надо измерить длину стороны квадрата, чтобы при вычислении его площади граница абсолютной погрешности не превышала ? Грубое приближенное значение стороны квадрата равно

Решение. Так как , то используя формулу получим , откуда

Итак, если измерить величину с погрешность, не превышающей , то погрешность не превысит

21. С какой точность надо измерить длину ребра куба , чтобы при вычислении его объема граница абсолютной погрешности не превышала Грубое приближенное значение ребра куба ровно .

Решение. Так как то, используя формулу (2.9), получим т. е.

Следовательно, если измерить величину с погрешностью, не превышающей то погрешность не превысит

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 6969; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!