Комбинированный метод хорд и касательных

Комбинированный метод основан на одновременном использовании методов хорд и касательных.

В результате получим две монотонные последовательности - приближенные значения корня по недостатку и по избытку соответственно. Для нахождения корня с заданной степенью точности достаточно ограничится теми значениями для которых Так как то в качестве значения корня следует взять среднее арифметическое чисел т. е. число

Легко видеть, что

Расчётные формулы:

а) если

на , то:

б) если

на , то:

Метод простой итерации

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде

Пусть известно начальное приближение корня

Подставляя это значение в правую часть уравнения получаем новое приближение: . Подставляя каждый раз новое значение корня в правую часть уравнения получаем последовательность значений:

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие на множестве действительных чисел.

Достаточным условием сходимости метода простой итерации на отрезке является условие

Для более точной оценки погрешности используются формулы:

где

Примеры.

1.Дано уравнение Исследовать вопрос о существовании и единственности корня на отрезке Вычислить три приближения корня уравнения по методу хорд и по методу касательных.

Решение.

Вычисляем знак выражения где . Т. к. и непрерывная функция на отрезке то уравнение имеет хотя бы один корень на заданном отрезке.

Для доказательства единственности корня вычисляем и определим их знак на отрезке

на отрезке следовательно, монотонно возрастает, и корень уравнения на отрезке единственный; , следовательно, функция сохраняет на отрезке выпуклость. Т.к. , то для вычисления приближенных значений корня по методу хорд используются формулы а по методу касательных