Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Основные свойства наклонных и их проекций

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 14Следующая ⇒

Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Пространственная теорема Пифагора.

Билет № 8.

Теорема о трех перпендикулярах (прямая и обратная).

Декартовы координаты в пространстве. Координаты середины отрезка. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

Билет № 9.

Угол между прямой и плоскостью. Понятие о параллельном проектировании.

Площадь поверхности и объем усеченной пирамиды.

Билет № 10.

Параллельность плоскостей. Признак параллельности плоскостей.

Компланарные векторы. Признак компланарности векторов.

Ненулевые векторы называются компланарными, если изображающие их направленные отрезки лежат в одной плоскости или параллельны одной и той же плоскости.

Замечание. Понятие компланарности рассматривается для трех и более векторов, так как два вектора всегда компланарны. Если среди трех векторов хотя бы два коллинеарны, то эти три вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеется нулевой вектор, также являются компланарными.

Пусть на плоскости α даны неколлинеарные векторы произвольный вектор этой плоскости. Если вектор коллинеарен с одним из данных векторов, то можно записать: Если вектор не коллинеарен ни с одним из данных векторов, то по правилу параллелограмма Полученное равенство называется разложением вектора по двум неколлинеарным векторам а числа х и у - коэффициентами разложения.

Теорема о разложении вектора: Если на плоскости дана упорядоченная пара неколлинеарных векторов, то для любого вектора этой плоскости существует единственная упорядоченная пара чисел такая, что выполняется векторное равенство:

Докажем единственность существования пара чисел х и у. Допустим, что существует пара чисел х₁ и у₁, которая также удовлетворяет векторному равенству Тогда

Из полученного равенства следует, что либо векторы коллинеарны (противоречит условию), либо

Любой вектор компланарный с неколлинеарными векторами является линейной комбинацией векторов Поэтому пару векторов называют базисом на плоскости.

Определение. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов . Векторы называются базисными векторами.

Базис из векторов обозначают . При этом равенство   называется разложением вектора   по базису , а числа х и у - координатами вектора   в базисе , разложения.

Для трех компланарных векторов справедливо равенство . Справедливо и обратное утверждение: если для трех векторов справедливо равенство , то они компланарны.

Теорема (признак компланарности трех векторов): Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие числа x, y, z, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство:

Доказательство:   Вектор   разложен по базису , а его координаты в этом базисе

Определение. Три вектора называются некомпланарными, если изображающие их направленные отрезки не лежат в одной плоскости и не параллельны одной плоскости.

Теорема о разложении вектора по базису в пространстве. Если дана упорядоченная тройка   некомпланарных векторов, то для любого вектора   пространства существует единственная упорядоченная тройка чисел удовлетворяющих равенству:

Доказательство: Пусть даны три некомпланарных вектора   и произвольный вектор . Если вектор   компланарен с любыми двумя из данных трех векторов , то теорема верна. Если вектор   компланарен с двумя векторами   Пусть теперь никакие три из векторов некомпланарны. От произвольной точки О отложим векторы   Так как направленные отрезки некомпланарны, то плоскости АОВ, АОС, ВОС различны.

Проведем через точку D прямую, параллельную ОС. Тогда эта прямая пересечет плоскость АОВ в точке D₁. По правилу треугольника Векторы компланарны. Следовательно,   Вектор Следовательно,

Полученное равенство называется разложением вектора   по трем некомпланарным векторам ; числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Любой вектор   пространства является линейной комбинацией тройки некомпланарных векторов . Эта тройка образует базис векторов в пространстве. Числа x, y, z называются координатами вектора   в базисе .

Билет № 11.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 666; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 9 101112 13 14 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!