Свойства перпендикулярных плоскостей
Усеченный конус и его свойства. Площадь полной и боковой усеченного конуса.
Билет № 21.
Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями.
Пирамида. Площадь полной и боковой поверхности пирамиды. Объем пирамиды.
Билет № 22.
Теоремы о линии пересечения плоскостей: одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости; каждая из которых проходит через одну из двух параллельных прямых.
Признак выпуклого многогранника. Понятие о развертке многогранника.
Теорема - признак выпуклого многогранника (обратная теорема). Если многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани, то он выпуклый.
Доказательство (от противного):
1) Пусть многогранник М лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Допустим, что многогранник не выпуклый. Тогда найдутся такие две точки А и В, что на отрезке АВ есть точка Х, не принадлежащая М. α - плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника. Допустим, что многогранник не лежит по одну сторону от плоскости α. Тогда существуют две такие точки А и В, которые лежат по разные стороны от плоскости α. Соединим точки А и В со всеми точками грани Q, лежащей в плоскости α. Получен многогранник M1, состоящий из двух пирамид с вершинами А и В и общим основанием Q. Эти пирамиды образованы отрезками АХ и ВХ, где Х - любая точка грани Q.
|
|
|
2) Поскольку исходный многогранник М выпуклый, то точки отрезков АХ и ВХ, то есть все точки многогранника M1 являются внутренними точками многогранника М. Иначе многогранник M1 целиком содержится внутри многогранника М. Это означает, что внутренние точки многоугольника Q лежат внутри многогранника M1 и многогранника М. Это невозможно, так как многоугольник Q - грань выпуклого многогранника М, а каждая точка этой грани является граничной точкой многогранника. Противоречие. Допущение неверно. Следовательно, точки А и В не лежат по разные стороны от выбранной грани. Многогранник выпуклый по определению.
Поверхностью многогранника является фигура, составленная из конечного числа многоугольников, которые прикладываются друг к другу равными сторонами, и каждая сторона любого из этих многоугольников является общей только для двух из них. Такую фигуру называют замкнутой многогранной поверхностью.
Если модель многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть на плоскости, то получится многоугольник, который называется разверткой данного многогранника.
Многоугольники, составляющие развертку многогранника, называются гранями развертки, стороны этих многоугольников - ребрами развертки, вершины многоугольников - вершинами развертки, причем склеиваемые стороны многоугольников считаются за одно ребро, а склеиваемые вершины - за одну вершину.
|
|
|
Для того чтобы из данной развертки можно было склеить выпуклый многогранник, необходимо выполнение следующих условий:
1) Условие замкнутости: каждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо одной стороной одного и только одного другого многоугольника (называемого смежным с данным).
2) Условие Эйлера: если развертка состоит из Г граней, В вершин и Р ребер, то выполняется теорема Декарта-Эйлера.
3) Условие выпуклости: сумма внутренних углов многоугольников (граней) при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°.
Билет № 23.
Теорема о прямой, параллельной каждой из двух пересекающихся плоскостей.
Параллелепипед: его свойства и виды. Объем параллелепипеда.
Билет № 24.
Теоремы о прямых, перпендикулярных плоскости.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 588; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!