Примеры для самостоятельной работы

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

1. Найти полный дифференциал для следующих функций:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

2. Вычислить полное приращение функции z, если дано:

, , ,

Неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть дана функция , которая является производной некоторой функции , т. е. .Необходимо найти функцию . Если такая функция существует, то она есть первообразная от данной функции .

Определение 6. Функция называется первообразной от функции на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .

Пример. Найти первообразную от функции .

Из определения первообразной следует, что функция является первообразной, так как .

Очевидно, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не является единственной, так как в качестве первообразных могут быть следующие функции: , где С - произвольная постоянная, так как .

С другой стороны, не сложно доказать, что функциями вида исчерпываются все первообразные от функции .

Определение 7. Если функция является первообразной для , то выражение называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

Таким образом, по определению , если .При этом функцию называют подынтегральной функцией, а -подынтегральным выражением.

Итак, согласно выше изложенному неопределенный интеграл представляет собой семейство функций .

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оy.

Зададимся вопросом: для всякой ли функции можно найти первообразные, а, значит, и неопределенный интеграл? Оказывается, что не для всякой. Более того, если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций.

Определение 8. Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.