ГЛАВА 1. Краткие сведения из элементарной математики

Стр 1 из 10Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.П. ПАВЛОВА

КАФЕДРА МЕДИЦИНСКОЙ И БИОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

КРАТКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ

МЕДИЦИНЫ И БИОЛОГИИ

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург

2000г.

Данное учебное пособие предназначено для студентов первого курса медицинского вуза. Оно написано в соответствии с учебной программой по высшей математике. В пособии кратко излагается ряд разделов математики, знание которых необходимо студентам медикам для усвоения естественно–научных, некоторых медико-биологических и медико-профилактических дисциплин.

Пособие может быть использовано также слушателями подготовительного факультета для иностранных учащихся.

Авторский коллектив - В.В. Мещанинова, Д.В. Соколов, Б.С. Кулинкин, Н.В.Камчаткина, Э.Н. Горбачева, И.А. Михайлова, В.А. Марущак, Н.Е. Проценко, О.В. Шокин, В.А. Громова.

Рецензент – доцент А.А. Опалев.

Утверждено ЦМК Физиолого-химических дисциплин (протокол №______ от________2000 г.)

Издательство СПбГМУ, 2000.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие............................................................................................................................... 5

ГЛАВА 1. Краткие сведения из элементарной математики......................................... 6

1. Функция.................................................................................................................................... 6

1.1. Способы задания функции.................................................................................................. 6

1.2. Основные элементарные функции...................................................................................... 7

2. Логарифмы и их свойства..................................................................................................... 7

ГЛАВА 2. Элементы высшей математики......................................................................... 8

1. Пределы.................................................................................................................................. 8

1.1. Основные теоремы о пределах.......................................................................................... 9

1.2. Примеры вычисления пределов.......................................................................................... 9

2. Производная функции............................................................................................................ 9

2.1. Механический смысл производной..................................................................................... 10

2.2. Геометрическое значение производной.............................................................................. 11

2.3. Таблица основных формул дифференцирования............................................................... 11

2.4. Правила дифференцирования............................................................................................ 12

2.5. Производная от сложной функции...................................................................................... 12

3. Дифференциал функции....................................................................................................... 12

3.1. Геометрическое значение дифференциала......................................................................... 13

3.2. Производные и дифференциалы различных порядков....................................................... 13

3.3 Решение биологических задач с применением дифференцирования................................... 13

4. Функция нескольких переменных......................................................................................... 14

4.1. Частные производные......................................................................................................... 14

4.2. Полное приращение и полный дифференциал................................................................... 15

4.3. Примеры для самостоятельной работы............................................................................. 15

5. Неопределенный интеграл.................................................................................................... 15

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл...................................................................... 15

5.2. Свойства неопределенного интеграла................................................................................ 16

5.3.Таблица интегралов............................................................................................................. 17

5.4. Интегрирование методом замены переменного или способом подстановки....................... 17

5.5.Интегрирование по частям................................................................................................... 18

6. Определенный интеграл........................................................................................................ 18

6.1. Основные свойства определенного интеграла................................................................... 19

6.2. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.............................. 20

6.3. Применение интегралов для решения количественных медицинских задач........................ 20

7. Дифференциальные уравнения. Введение. Постановка задачи...................................... 21

7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)..................................... 22

7.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными........... 23

ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины........................................................... 25

ГЛАВА 4. Краткое введение в теорию комплексных чисел.......................................... 27

ГЛАВА 5. Дифференциальные уравнения второго порядка....................................... 28

1. Линейное однородное дифференциальное уравнение...................................................... 28

1.1. Алгоритм решения дифференциального уравнения........................................................... 29

1.2.Примеры решения дифференциальных уравнений.............................................................. 30

ГЛАВА 6. Применение дифференциальных уравнений для исследования колебательных процессов................................................................................................................................... 32

1. Состояние динамических систем вблизи положения равновесия................................... 32

2. Дифференциальное уравнение механических колебаний................................................ 33

ГЛАВА 7. Математическое моделирование в биологии и медицине........................ 37

1. Модель Вольтерра................................................................................................................. 37

2. Фармакокинетическая модель.............................................................................................. 41

3. Простейшая математическая модель эпидемии................................................................ 44

4. Простейшая модель инфекционного заболевания............................................................ 45

Предисловие

Современное естествознание вступило в эру количественных и точных методов познания жизненных процессов. Одним из примеров этого является активное развитие математического моделирования в биологии и медицине с широким привлечением компьютеров и прикладных программ.

Очевидно, что без знания основных математических понятий и законов невозможно глубокое изучение физических, физико-химических и физиологических процессов, обеспечивающих жизнедеятельность организма, понимание сущности математического моделирования и др.

Трудности, возникающие при решении конкретных количественных биологических и медицинских задач связаны, как правило, с пробелами знаний в различных разделах математики.

Настоящее учебное пособие разработано авторами с учетом опыта преподавания курса медицинской и биологической физики. В пособии очень кратко излагаются некоторые темы из курса элементарной математики, знание которых необходимо для понимания дальнейшего теоретического материала высшей математики. Кроме того к каждому разделу даны примеры и задачи и показаны способы их решения.

Более подробно рассмотрены колебательные процессы и вопросы математического моделирования в медицине и биологии.

ГЛАВА 1. Краткие сведения из элементарной математики.

Функция

При изучении различных явлений природы и решении целого ряда задач приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, пройденный телом путь мы рассматриваем, как величину переменную, изменяющуюся в зависимости от времени, т.е. пройденный путь есть функция времени.

Определение 1. Если каждому значению переменной , принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной , то есть функция от , т.е. .

Переменная называется независимой переменной или аргументом.

Зависимость переменных и называется функциональной зависимостью.

Определение 2. Совокупность значений , для которых определяются значения функции в силу правила , называется областью определения функции.

Способы задания функции

I. Табличный способ задания функции

При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции .

x	x₁	x₂	...	x_n
y	y₁	Y₂	...	Y_n

Таковы, например, таблицы тригонометрических функций.

В результате экспериментального изучения физических явлений, как правило, получаются таблицы, выражающие функциональную зависимость между измеряемыми величинами.

II. Графический способ задания функции

Если в прямоугольной системе координат на плоскости имеем некоторую совокупность точек , при этом никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной оси , то эта совокупность точек определяет некоторую однозначную функцию , где значениями аргумента являются абсциссы точек, значениями функции - соответствующие ординаты.

Совокупность точек плоскости , абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты - соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции.

III. Аналитический способ задания функции

Аналитическим выражением называется символическое обозначение совокупности математических операций, которые необходимо произвести в определенной последовательности над числами и буквами, обозначающими постоянные или переменные величины.

Если функциональная зависимость такова, что обозначает аналитическое выражение, то значит, что функция от задана аналитически.

Например: , , и т. д.

IV. Параметрический способ задания функции

Даны два уравнения: ,

где каждому значению соответствуют значения и . Эти уравнения называются параметрическими, - параметром. Часто уравнения некоторых кривых задают в параметрической форме. Например:

Это есть параметрические уравнения окружности. Если мы исключим из этих уравнений параметр , то получим уравнение окружности, содержащее только и . Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая, находим:

или

Можно также параметрически задать уравнение эллипса:

или

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!