Задачи для самостоятельного решения

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 15Следующая ⇒

6. 2 ⋅ x ₂ ( t ) + 4 ⋅ x ₂ ( t ) = 2 ⋅ x ₁ ( t ) + 5⋅ x ₁ ( t).

_7.8 ⋅ x ₂ ( t ) + 5 ⋅ x ₂ ( t ) = 4 ⋅x ₁ ( t ) + 2 ⋅ x ₁ ( t).

8. 6 ⋅ x₂ ( t ) + x ₂ ( t ) + 2 ⋅ x ₂ ( t ) = 8 ⋅ x ₁ ( t ) + 2 ⋅ f ( t).

Найти передаточную функцию W(p) системы по известной функции веса

w(t).

w(t) = 5⋅t.

Решение. Используя связь между передаточной функцией и функцией веса W( p ) = L[ w ( t) ] , получим

W(p)=L[5⋅t]=5/p².

Задачи для самостоятельного решения

9. w(t)=12.

_10.w ( t) = _T^k ⋅_e⁻T^t .

11. w(t)=4⋅t².

По передаточной функции системы найти ее реакцию на единое ступенчатое воздействие (переходную функцию).

W( p) = ^k_p¹ + k₂ .

Решение. Как следует из условия, звенья с передаточными функциями

^k¹ p и k₂ соединены параллельно. По принципу суперпозиции, справедливому

для линейных систем, имеем

h(t)=h₁(t)+h₂(t),

где h(t) – переходная функция всей системы;

h₁(t) – переходная функция интегрирующего звена;

h₂(t) – переходная функция усилительного звена.

Известно, что h₁(t)= k₁⋅t, h₂(t)=k₂⋅1(t).

Тогда h(t)= k₁⋅t+k₂⋅1(t).

Задачи для самостоятельного решения

_12.W ( p) = ⁴_p + _{2 p}⁵₊ ₁ + 2 ( 4 p + 1).

_13.W( p ) = k ₁ + k ₂ p + ^k_p³ .

_14.W(p) = ²_p + (8p + 1) + _5p⁴₊ ₁.

Кроме передаточных функций по Лапласу в теории автоматического управления (ТАУ) активно используются передаточные функции по Фурье, называющиеся также частотными передаточными функциями.

Они позволяют получить информацию о всех показателях синусоидального выходного сигнала объекта, если известна амплитуда и частота его входного синусоидального воздействия. При этом рассматривается только установившийся процесс.

Частотные передаточные функции (передаточные функции по Фурье) получаются теми же тремя способами, что и операторы Лапласа. Только вместо преобразования Лапласа используется преобразование Фурье, определяемое выражением

∞
x ( j ω) = _∫x ( t ) _e^−j ^ωtdt.	(6)
0

где x(t), t≥0 – любая функция времени, удовлетворяющая условию применения преобразования Фурье.

Кроме того, частотные ПФ не трудно получить, если использовать

мнемоническое правило

W(S)→W(jω).		(7)
При этом частотные ПФ могут быть представлены:

в прямоугольной форме
W ( j ω) = P ( ω) + jQ( ω);		(8)
в показательной форме
W ( j ω ) = A( ω) ⋅_e^jϕ ⁽ ^ω) ;		(9)
в тригонометрической форме
W( j ω ) = A( ω ) ⋅	cos ϕ ( ω ) + jsin ϕ ( ω) ;	(10)
[	]	(10)

Применение частотных передаточных функций позволяет получить частотные характеристики автоматических систем. К ним относятся:

амплитудная частотная характеристика (АЧХ)

A ( jω) =	W( jω)		;	(11)
A ( jω) =	W( jω)		;	(11)
логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ)
L(ω)=20⋅lgA(ω);				(12)
фазовая частотная характеристика (ФЧХ)
	Q( ω)
ϕ ( ω) = arg		;		(13)
	P( ω)			(13)
вещественная частотная характеристика (ВЧХ)
P(ω)=A(ω)⋅cosϕ(ω);				(14)
мнимая частотная характеристика (МЧХ)
Q(ω)=A(ω)⋅sinϕ(ω).				(15)