Алгебраический критерий устойчивости



 

Определение корней характеристического уравнения А(р)=0 обычно приводит к большим трудозатратам, а иногда и просто невозможно, если нет цифровых ЭВМ с соответствующими программами для нахождения этих корней. Поэтому чаще пытаются оценить устойчивость объектов косвенными алгебраическими методами, используя коэффициенты его характеристического уравнения. Среди алгебраических способов анализа устойчивости наиболее распространен метод Гурвица.

 

Исходная информация для использования этого метода заключена в коэффициентах характеристического уравнения объекта, устойчивость которого необходимо определить. Это уравнение записывается в следующей стандартной форме

 

a 0 ⋅ p n + a 1 ⋅ p n−1 +…+ a n −1 ⋅ p + a n = 0 .

 

Далее из коэффициентов ai, i=0,..n составляется матрица Гурвица

a 1

a 3 a5 0    
   

a 2

a4

0

   

a 0

   
H = 0 a 1 a3 0    
             
          .  
 

0

0

0

     
 

a n

 

Формируется она следующим образом: в диагональ сверху вниз записываются последовательно коэффициенты а1, а2, ...,аn. Затем от любого члена диагонали вдоль строки вправо записываются коэффициенты с возрастанием на каждом шаге их номера на две единицы. Если коэффициент с таким номером отсутствует, то вместо него записывается нуль.

 

Так как математической основой критерия является теория определителей, то далее находится главный определитель Гурвица n и его


36

 

диагональные миноры i, i=1,2,..n-1:

 

             

a 1

a3

       

a 1

a 3

a5

 

 

           
                                   
                                     

1 =

 

a1

 

;

2

=

= a 1

⋅ a 2

− a 0 ⋅ a 3 ; 3

=

a 0

a 2

a4

 

;

n =

 

H

     
             
   

a 0

a2

     

,

 
                     

0

a 1

a3

             
                                         

 

причем n=ann-1.

 

Гурвиц доказал:

 

«если при а0>0 положительны все n определителей i, i=1,2,..n, то объект является устойчивым. Если хотя бы один определитель отрицателен, то объект неустойчив».

Граничные случаи. Например, при аn>0 равен нулю предпоследний определитель Гурвица n-1. Соответственно, будет равен нулю и последний определитель. Если при этом остальные определители положительны, то объект находится на колебательной границе устойчивости.

 

Частный случай. Критерий И.А. Вышнеградского.

 

В 1876 году профессором Вышнеградским был сформулирован критерий устойчивости для системы с характеристическим уравнением третьего порядка:

если произведение параметров

 

A =

a 2

и B =

a1  

3 a 0 ⋅a 23

3 a 02 ⋅a 3

 
     

больше единицы при А>0 и В>0, то система третьего порядка устойчива;

 

если А⋅В<1 при А>0 и В>0, то она неустойчива;

 

граница колебательной устойчивости системы третьего порядка определяется уравнением А⋅В=1 при А>0 и В>0.

 

Подставив в переменные А и В значения коэффициентов а1, а2, а3,

 

получим такое же неравенство а1⋅а20⋅а3, что и по критерию Гурвица.


37

 

Пример

 

Определить устойчивость замкнутой и разомкнутой системы по известной передаточной функции разомкнутой системы

W( p) =            5

p 3 + 2 p 2 + 4p − 2 .

 

Решение. Характеристическое уравнение разомкнутой системы

 

p 3 + 2 p 2 + 4 p − 2 = 0 .

 

Разомкнутая система неустойчива, так как не выполняется необходимое условие устойчивости: положительность всех коэффициентов характеристического уравнения).

 

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

 

p 3 + 2 p 2 + 4 p + 3 = 0 .

 

Так как 2⋅4>3⋅1, то в соответствии с критерием Вышнеградского

 

система устойчива.

 


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 833; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!