ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Исследование свойств АС предусматривает выполнение следующих операций:
− определение факта ее устойчивости (неустойчивости);
− анализ качества перехода АС из одного состояния в другое;
− исследование точности АС в установившемся режиме.
Процесс перехода АС из одного состояния в другое называется переходным процессом. Характеристики поведения системы в переходном процессе называются динамическими. Следовательно, переходный процесс есть реакция системы на любое входное воздействие. При исследовании АС входные воздействия желательно выбирать так, чтобы в переходном процессе наиболее полно проявлялись все свойства системы. Такие воздействия называются типовыми:
− импульсные;
− степенные;
− гармонические.
Реакция системы (рис.1б.) на эти воздействия и будет оцениваться динамическими характеристиками.
Рис.1б. Обобщенная схема исследования характеристик АС.
13
В качестве таких характеристик чаще всего используются следующие
(табл. 1).
Таблица 1
Основные динамические характеристики АС
| Типовые воздействия | Характеристики |
| x1=1(t) | x2=h(t) |
| x1=δ(t) | x2=w(t) |
| x1=A1sinωt | x2=A2sin(ωt+ϕ) |
Ниже рассмотрен алгоритм определения динамических характеристик АС, основанный на представлении системы в виде математической модели и решении описывающих АС уравнений.
|
|
|
Основной формой представления математической модели (ММ) АС является линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ). В случае, если система описывается нелинейным дифференциальным уравнением (ЛНДУ), то его линеаризация производится позднее, на этапе решения ЛНДУ.
Математическая модель АС как правило изображается в общей форме
| d 2 x 2′′ ( t ) +d 1 x 2′ ( t ) + d 0 x 2 ( t ) = b 1 x 1′ ( t ) + b 0 x 1 ( t), | ||||||||||||||||||||||||||||||
| ∂F | ∂F | ∂F | ∂F | ∂F | ||||||||||||||||||||||||||
| г деd | 2 | = | , d | 1 | = | , d | 0 | = | , b | 1 | = |
| , b | 0 | = |
| ||||||||||||||
| ∂x′ | ∂x | ∂x′ | ∂x | |||||||||||||||||||||||||||
| ∂x′′ | 0 | 0 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | |||||||||||||||||||||||
| 2 | 2 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
| (1)
| ||||||||||||||||||||||||||||||
14
или в стандартной форме
| T | 2 x ′′ ( t ) +2ξTx ′ ( t ) + x | 2 | ( t ) = k T x ′ ( t ) + x | 1 | ( t) , | ||||||||||
| 2 | 2 | [ 1 | 1 | ] | |||||||||||
| г де k = b 0 | , T = | d 2 | , T1 = | b1 | , ξ = | d1 | = | d1 | . | (2) | |||||
| d 0 | d 0 | b 0 | 2Td | 02 | d 2 d 0 | ||||||||||
Математическая модель АС, представленная в виде ЛДУ является основой для нахождения динамических характеристик систем в соответствии с алгоритмом (рис.2).
Рис.2. Алгоритм определения динамических характеристик АС
Пример
Найти функцию веса w(t) по известной переходной функции h(t)
h(t)=2(1-e-0,2t).
Решение. Известно [1], что w(t)=h’(t). Поэтому, продифференцировав исходное выражение, получим
w(t)=0,4e-0,2t.
15
Задачи для самостоятельного решения
1. h(t) =5t.
2. h(t) =10.
Найти переходную функцию h(t) по известной функции веса w(t).
3. w(t) =7t.
4. w(t) =3.
5. w ( t) = Tk ⋅e−Tt .
Для описания АС и исследования их устойчивости применяется аппарат передаточных функций (ПФ). На практике применяются следующие виды передаточных функций:
|
|
|
− передаточные функции по Лапласу;
− передаточные функции по Фурье;
− дискретные передаточные функции;
− передаточные функции по Хевисайду-Карсону;
− передаточные функции – дифференциальные операторы.
В ПФ по Лапласу аргументом является комплексная величина p = С+jω.
ПФ по Фурье являются частным случаем операторов Лапласа, когда С= 0 и,
следовательно, p = jω. В ПФ - дифференциальных операторах аргумент
p = d 
dt .
Остальные ПФ получили распространение лишь в узких задачах теории
АС.
ПФ могут быть получены различными способами, например:
с использованием преобразований Лапласа от входной и выходной величин объекта;
с использованием дифференциального уравнения объекта;
с использованием соответствующей функции веса.
16
В первом случае ПФ объекта численно равна отношению преобразования Лапласа его выходной величины к преобразованию Лапласа от его входного воздействия при нулевых начальных условиях
| ∞ | ||||||||
| L{ x i ( t )} | xi (p) | ∫xi (t)e−pt dt | ||||||
| W (p) =
| = | = | 0 | , p = C + jω | ||||
| L{ x j | ( t )} | ∞ | ||||||
| ij | x j (p) | . | ||||||
| ∫x j (t)e−pt dt | ||||||||
| 0 | ||||||||
В остальных случаях ПФ находятся по следующим зависимостям
B(S) −оператор внешних воздействий;
W (S) = A (S) − собственный оператор системы;
W(S) = L{ w ( t)} или W(S) = L{h ′( t)}.
(3)
(4)
(5)
Пример
Найти передаточную функцию системы по известному дифференциальному уравнению. Начальные условия – нулевые.
4 ⋅ x 2 ( t ) + 2 ⋅ x 2 ( t ) + 10 ⋅ x 2 ( t ) = 5⋅ x 1 ( t).
Решение. Приведя уравнение к стандартной форме, получим
| 0,4 ⋅ x 2 ( t ) + 0,2 ⋅ x 2 ( t ) + x 2 ( t ) = 0,5⋅ x 1 ( t). | ||
| Запишем полученное уравнение в операторной форме, используя | ||
| преобразование Лапласа | ||
| ( 0,4 ⋅ p 2 + 0,2 ⋅ p + 1) ⋅ x 2 ( p) = 0,5⋅x1( t). | ||
| Тогда передаточная функция будет иметь вид | ||
| W( p) = x 2 ( p) = | 0,5 | . |
| x 1 ( p) | 0,4 ⋅ p 2 + 0,2 ⋅ p + | 1 |
17
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 673; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!