Задачи для самостоятельного решения
W( p) = 5
29. p 3 + 2 p 2 + 4 p − 15 .
W ( p) = 5
30. p 3 + p 2 + 3p − 2 .
W ( p) = 10
31. p 3 + 2 p2 + 10p +15 .
W ( p) = 4 p +1
32. p 4 + 2 p 3 + p 2 +1 .
W ( p) = 10p +1
33. p 5 + p 4 − p 3 − 20 .
38
W ( p) = 2 p +1
34. p 3 + 2 p 2 + p + 2 .
W ( p) = k
35. p 2 ( 1 + Tp) .
Известна передаточная функция разомкнутой системы. Определить значение постоянной времени T, при котором замкнутая система окажется на границе устойчивости.
| 36. W ( p) = | 500 | . | |
| p ( 0,02 p + 1)( Tp + 1) |
= 100
37. W ( p) p ( 2 p + 1)(Tp +1) .
38. W ( p) = + 10 + . p ( 4 p 1)(Tp 1)
Критерий устойчивости Найквиста
Среди частотных критериев наиболее распространен критерий Найквиста. Он позволяет оценить устойчивость АС по АФЧХ, соответствующей разомкнутой системы.
Для минимально-фазовых систем этот критерий формулируется следующим образом:
для того, что бы АС, устойчивая или нейтральная в разомкнутом состоянии, была устойчива в замкнутом состоянии необходимо и достаточно,
чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы не охватывал точку М{-1, j0}
на комплексной плоскости при изменении частоты ω от нуля до бесконечности и повороте вектора АФЧХ W(jω) по часовой стрелке (рис.11).
39
Рис. 11. АФЧХ систем с различной устойчивостью
Существует логарифмическая форма частотного критерия Найквиста
|
|
|
(рис.12).
Рис.12. ЛАХ и ФЧХ систем с различной устойчивостью
Формулировка критерия в форме В.А. Бесекерского:
замкнутая АС устойчива, если ее ФЧХ пересекает ось частот правее места пересечения ее ЛАХ разомкнутой системы.
Это относится только к минимально-фазовым разомкнутым АС, нейтральным и устойчивым в разомкнутом состоянии.
40
Однако такой же универсальной, как основной критерий Найквиста является следующая формулировка:
замкнутая АС устойчива, если положительны все ее запасы по фазе.
Следствие из критерия Найквиста:
если разомкнутая система неустойчива, то для ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы АФХ неустойчивой разомкнутой системы охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении
(против хода часовой стрелки) η/2 раз, где η-число «правых» корней
характеристического уравнения разомкнутой системы.
Графо-аналитический критерий (критерий Михайлова):
для устойчивости АС необходимо и достаточно, чтобы кривая (годограф)
Михайлова, начинаясь при ω=0 на вещественной положительной полуоси, с
ростом частоты ω от 0 до ∞ обходила последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов комплексной плоскости,
|
|
|
где n - степень характеристического уравнения (рис. 13).
Рис. 13. Вид годографов Михайлова для различных систем
41
Пример
Оценить устойчивость АС по критерию Михайлова, если известен характеристический полином замкнутой системы D(p)=p3+0,5p2+12p+5.
Решение. Для построения кривой Михайлова определим вещественную и мнимую части функции D(jω)
U(ω)=Re D(jω)=5-0,5ω2,
V(ω)=Jm D(jω)=ω(12-ω2).
Примерный вид кривой (рис.14) определяется по характерным точкам.
Рис.14 Вид годографа
При ω=0, U(0)=5, V(0)=0.
Из условия U(ω1)=0 находится ω1= 
10 и V(ω1)= 6,4.
Из условия U(ω2)=0 находится ω1= 
2 и V(ω2)= –1.
Кривая Михайлова последовательно проходит через три квадранта. Следовательно, система устойчива.
42
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 682; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!