Основні види рівнянь з однією змінною
Актуальність теми «Рівняння, нерівності та їхні системи» Сьогодні важко назвати галузь науки, промисловості й народного господарства, де не використовувалися б математичні моделі. Наприклад. ü Основою нашего організму є скелет. А головним в скелеті – хребет Скільки ж хребців в кожному відділі хребта? В поперековому, хрестовому і копчиковому відділах хребта хребців порівну. В грудному відділі їх на сім більше, ніж в поперековому, а в шийному – на п’ять менше, ніж у грудному. Скільки хребців в кожному відділі хребта, якщо їх всього 34 (35)? Ця текстова задача має математичну модель: 3х+(х+7)+(х+2)=34 = 5х+9= 34 ü Морська вода містить 5% солі. Скільки прісної води (Н2О) треба додати до 40 кг морської води, щоб концентрація солі становила 2%?. Ця задача також має математичну модель: (40+ х) ∙ 0,02 = 2 = 0,02х=1,2 ü Периметр прямокутника дорівнює 42 см, а довжина його діагоналі дорівнює 15 см. Знайдіть довжини сторін прямокутника. Маємо математичну модель задачі: 152 = x2+(21- х)2 х2-21х+98=0 Як бачимо дані задачі з різних галузей, але при їх розв’язуванні використовуються рівняння. Тобто більшість задач, які розв’язуються методами елементарної математики, зводяться до розв’язування рівнянь того чи іншого степеня. Навчитися розв’язувати рівняння основних типів – одне з головних загальноосвітніх завдань вивчення курсу математики в умовах середньої освіти. Крім того, в багатьох задачах з практичним змістом величин, що входять до них, можуть приймати не одне, а декілька цілих множин. Ці величини зазвичай описуються нерівностями або їх системами. Мета вивчення теми «Рівняння, нерівності та їхні системи». Узагальнити й систематизувати знання про рівняння, нерівності з однією змінною та їх системи. Формувати практичну компетентність: – уміння розрізняти класи рівнянь, нерівностей, їхніх систем та методи їх розв’язання; - уміння застосовувати загальні методи (розкладання на множники, заміна змінної тощо) до розв’язання рівнянь, нерівностей та їхніх систем; - уміння розпізнавати класи рівнянь, нерівностей або зводити їх до основних; - уміння розв’язувати текстові задачі, які зводяться до рівнянь. Формувати логічну компетентність : володіння і використовувати на практиці понятійний апарат дедуктивних теорій (означення рівняння, нерівності та їх розв’язки; поняття рівносильності); - відтворювати правильність процедур розв’язань типових задач; - проводити дедуктивні обґрунтування правильності розв’язання задач; - використовувати математичну та логічну символіку. Після вивчення теми студенти повинні знати: · Основні види рівнянь з однією змінною. · Загальні методи розв’язання рівнянь з однією змінною: розкладання на множники, заміна невідомої, функціональні методи. · Основні види нерівностей з однією змінною, · Методи розв’язання нерівностей з однією змінною · Системи нелінійних рівнянь, їх види, методи їх розв’язання. Студенти повинні вміти: · Застосовувати загальні методи (розкладання на множники, заміна змінної, функціональні методи) до розв’язання рівнянь. · Застосовувати загальні методи (рівносильності, метод інтервалів, розкладання на множники, заміна змінної, функціональні методи) до розв’язання нерівностей. · Застосовувати загальні методи (підстановки, введення нової змінної величини, алгебраїчного додавання, графічний) до розв’язування систем нелінійних рівнянь. · Розв’язувати задачі, які зводяться до рівнянь. Студенти розпізнають та розрізняють: · класи рівнянь, нерівностей, їхніх систем, методи їх розв’язання.
|
|
|
|
|
|
ВИТЯГ
З робочої навчальної програми з предмету
Математика
| № п/п | Назва розділів, тем, програми Зміст заняття | Всього годин | з них в годинах | Форма контролю
| ||||
| лекції | семінари | Практ. занят. | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||
| ІІ СЕМЕСТР | ||||||||
| 4. Рівняння, нерівності, системи | 18 | 18 | ||||||
| 1 | Основні види рівнянь з однією змінною. Загальні методи їх розв’язання: розкладання на множники, заміна невідомої. | 2 | 2 | Бесіда, розв’язання рівнянь. | ||||
| 2 | Загальні методи розв’язання рівнянь: розкладання на множники, заміна невідомої, функціональні методи. Самостійна робота №1. | 2 | 2 | Бесіда, усне опитування, розв’язання рівнянь. | ||||
| 3 | Розв’язування задач, які зводяться до рівнянь. | 2 | 2 | Розв’язування задач. | ||||
| 4 | Розв’язування рівнянь та задач. Самостійна робота №2. | 2 | 2 | Тести, розв’язання рівнянь, задач. | ||||
| 5 | Нерівності з однією змінною, їх види, методи розв’язання. | 2 | 2 | Бесіда, розв’язання нерівностей. | ||||
| 6 | Нерівності з однією змінною, їх види, методи розв’язання. Самостійна робота №3 | 2 | 2 | Розв’язання нерівностей. | ||||
| 7 | Системи нелінійних рівнянь, їх види, методи їх розв’язання. | 2 | 2 | Бесіда, розв’язання систем рівнянь. | ||||
| 8 | Розв’язування систем нелінійних рівнянь | 2 | 2 | Розв’язування систем нелінійних рівнянь | ||||
| 9 | Розв’язування рівнянь, нерівностей та систем нелінійних рівнянь Перевірочна робота. Залік з теми. | 2 | 2 | Тестовий контроль, перевірочна робота | ||||
|
|
|
Тема: ОСНОВНІ ВИДИ РІВНЯНЬ З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИ ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ: РОЗКЛАДАННЯ НА МНОЖНИКИ, ЗАМІНА НЕВІДОМОЇ, ФУНКЦІОНАЛЬНИЙ МЕТОД.
Означення рівняння. Корені рівняння. Поняття рівносильності. Властивості рівняння:
Рівність із змінною, відносно якої треба встановити, для яких її значень (можливо таких значень і не існує) рівність перетворюється у правильну числову називається рівнянням.
Наприклад: 5х - х=28, 2(х+3)=5х -7, х2 - 4=0.
Якщо в рівності одна змінна, то це рівняння з однією змінною.
Коренем (розв’язком) рівняння з однією змінною називається значення змінної, при якому рівняння перетворюється у правильну числову рівність, або при якому змінна задовольняє рівняння.
Розв’язати рівняння – означає знайти всі його корені (розв’язки) або довести, що рівняння коренів немає.
Якщо рівняння має один корінь, наприклад х=5, то відповідь записують у формі: х = 5 або 
.
Якщо рівняння має декілька (скінченне число) коренів, то відповідь зручно записувати у вигляді перерахунку коренів, даючи кожному значенню х свій номер. Наприклад, х1 = - 2 і х2 = 2 або 
. Корені бажано розташовувати в порядку зростання.
Якщо рівняння зовсім немає коренів, то відповідь записується словами: коренів немає або 
.
Два рівняння з однією змінною називаються рівносильними, якщо корені першого рівняння є коренями другого і, навпаки корені другого рівняння є коренями першого.
Властивості рівняння:
1) якщо до обох частин рівняння додати одне й теж саме число чи вираз зі змінною, що не втрачає смислу ні за яких значень змінної, то дістанемо рівняння, рівносильне даному;
звідси випливає, що можна переносити будь-який член рівняння з однієї його частини в іншу, змінюючи попередньо знак цього члена на протилежний;
2) якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й теж саме число, що не дорівнює нулю, чи вираз зі змінною, який не перетворюється на нуль ні за яких значень змінної і не втрачає смислу на множині допустимих значень змінної для даного рівняння, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Основні види рівнянь з однією змінною.
Розв’язування рівняння з однією змінною передбачає два кроки:
Ø перетворення рівняння до стандартного (до одного з основних видів рівнянь з однією змінною);
Ø розв’язування стандартного рівняння.
Перетворення рівняння до стандартного (до одного з основних видів рівнянь з однією змінною) здійснюються за відомими формулами, які завжди можна відновити в пам’яті при допомозі довідників або ж просто їх пам’ятати.
Рівняння з однією змінною поділяються на: алгебраїчні та трансцендетні.
Алгебраїчні - це рівняння утворені з чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до цілого додатного степеня і добування арифметичного кореня.
Алгебраїчні поділяють на раціональні ( лінійні – 4х+8 
, квадратні – 2х2 +3х – 6=0, біквадратні) та ірраціональні ( 
. Раціональні можуть бути як цілими (2х2 +3х – 6=0) так і дробовими ( 
Всі неалгебраїчні рівняння називаютьсятрансцендентними. До них відносяться: показникові, логарифмічні, тригонометричні. Тому основними (стандартними ) видами рівнянь є:
Основні види (стандартні) рівнянь (ня) з однією змінною:
1. Лінійне рівняння ах + b = 0.
2. Квадратне рівняння ах2 + bх + с = 0.
3. Просте степеневе рівняння 
4. Показникове рівняння 
5. Логарифмічне рівняння 
6. Прості тригонометричні рівняння 
tg x = a,
ctg x =a.
Лінійні рівняння
Якщо а 
0, то х= 
- єдиний корінь;
Якщо а=0,b=0, то коренем рівняння буде будь-яке дійсне число;
Якщо а=0, 
0, то рівняння не має коренів.
Квадратні рівняння
2.1. Повне квадратне рівняння:
;
;
якщо 
0, то два дійсні корені 
2.2. Неповне зведене квадратне рівняння:
За теоремою Вієта:
;
.
2.3. Неповне квадратне рівняння:
· 
;
· 
;
; 
.
Просте степеневе рівняння
Просте степеневе рівняння 
при різних n і а (n- натуральне число):
1) при будь-якому додатному арівняння 
має:
а) при будь-якому непарномуn (n=2k-1, kєN) тільки один дійсний корінь х= 
б) при будь-якому парномуn (n=2k, kєN) тільки два дійсних корені х= 
х=- 
2) при а= 0 рівняння 
має тільки один корінь х=0;
3) при будь-якому від’ємному арівняння має:
а) при будь-якому непарномуn (n=2k-1, kєN) тільки один дійсний корінь х=
б) при будь-якому парномуn (n=2k, kєN) не має дійсних коренів.
Показникове рівняння.
Методи розв’язування простих показникових рівнянь.
1. Порівняння основ: 
; Якщо основи рівні, то і показники рівні.
2.Порівняння показників :( 
; Якщо показники рівні, то і основи рівні .
3.За означенням степенів: 
.
Логорифмічне рівняння:
Якщо 
, рівняння не має розв’язку.
Методи розв’язання простих логарифмічних рівнянь.
1) За означенням: 
;
2) За порівнянням: 
.
Тригонометричні рівняння:
v 
; 
Окремі випадки:
ü 
ü 
ü 
v 
Окремі випадки:
ü 
ü 
ü 
v 
v 
Дробово –раціональне рівняння
Щоб розв'язати дробово-раціональне рівняння, треба:
1) Перенести всі члени рівняння у ліву частину, тобто подати рівняння у вигляді 
= 0.
2) Скористатися тим, що дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменнник не дорівнює нулю, тобто прирівняти до нуля чисельник і розв'язати рівняння 
) =0.
Із знайдених розв'язків виключити ті, що перетворюють на нуль знаменнник.
Можна також подати дробово-раціональне рівняння у вигляді 
= 
і скористатися умовою рівності дробів з однаковими знаменниками, тобто прирівняти чисельники і розв'язати здобуте ціле раціональне рівняння
. Із знайдених розв'язків виключити ті, що перетворюють на нуль знаменнник.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1588; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!