Метод підстановки (заміна змінної, уведення нової змінної)

Якщо в нерівності  є одинакові вирази зі змінною величиною, які можна замінити новою змінною величиною, то отримаємо більш просту нерівність.

Приклад 8. Розв’язати нерівність .

Розв’язування.

Зробивши заміну змінної t = , дістаємо t² - 8t +12 .

Коренями рівняння t² - 8t +12  є t₁ =2, t₂=6. Скористаємося методом рівносильних перетворень

Звідси (t² - 8t +12 t₁ -2)(t₂- 6)  <=> 2< t<6.

Оскільки t= 2< <6. Перейдемо до системи нерівностей 2<  <6<=> Розв’яжемо першу нерівність системи  Знайдемо корені х₁=-1, х₂=2 Звідси

Розв’язуємо другу нерівність системи

Знайдемо корені х₁=-2, х₂=3 Звідси

-2 .

Розв’язок початкової нерівності можна записати таким чином

 <=>

Зобразимо отримані множини за допомогою двох координатних прямих Рис.

З рис.2 бачимо, що розв’язком початкової нерівності є об’єднання множин

 (-2;-1),(2;3)

 

-2 -1   2 3

        Рис.2

Відповідь: (-2;-1) (2;3)

 

Розв’язування нерівностей, що містять однорідні функції.

При розв’язуванні нерівностей, що містять однорідні функції, необхідно ділити кожний вираз на степінь з найвищим показником.

Приклад 9. Розв’язати нерівність

Розв’язування. . Початкову нерівність можна записати у вигляді: . У лівій частині однорідні функції  Поділивши обидві частини нерівності на 1- 4 . Введемо підстановку , t  та виконавши перетворення, одержимо 14-56t-10+7t  

- 49t   t . Отже х 2.

Відповідь: ( ; 2)

 

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

1.Що називається розв’язком нерівності з однією змінною?

2.Що означає розв’язати нерівність з однією змінною?

3. Які дві нерівності називаються рівносильними ?

4.Що називається областю визначення нерівності з однією змінною?

5.Назвати властивості нерівності з однією змінною.

6.Що означає вимога: розв’язати систему нерівностей?

7.Що називається розв’язком системи нерівностей з однією змінною?

8.Назвати основні види нерівностей з однією змінною.

9.Яка нерівність з однією змінною називається лінійною? Як розв’язується така нерівність?

10. Як розв’язується квадратна нерівність?

11. Як розв’язуються дробові нерівності?

12.У чому полягає метод інтервалів розв’язування нерівностей?

13. Які методи розв’язування нерівностей існують.

 

 

ВПРАВИ

 

Розв’язати нерівності:

 

Початковий та середній рівень.

1) 3(х - 2)  4х – 9; 2) 2(х + 3)  4х +10; 3) 3 - 2х 12 - 5х; 4)   5) 2х2 - 3х - 2 0;

6) 7) | x −1|  2; 8) 9) | x +2|  3 ; 10) (6 - х)(х+3)(х- 4 0;

 

Достатній рівень

11) ; 12) + 5; 13) 0;

14) 15) 5sinx- sin2x 0; 16) ;

 

Високий рівень

17. 18. +6х+15)+9 0;

19. x - -3 20. 0.

 

САМОСТІЙНА РОБОТА №3

 

В-1 Розв’язати нерівність: 6б. 1.3(х - 2)  4х – 9;   9б. 3.(6 - х)(х+3)(х- 4 0; x – - 3 ; 10б. 5

В-2 Розв’язати нерівність: 6б. 1. 2(х + 3)  4х +10;   2. 9б. 3. (4-х)(х+2)(х-3)   4. ; 10б. 5. +6х+15)+9 0

 

 

Тема. ОСНОВНІ ВИДИ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА МЕТОДИ ЇХ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ.

 

Кілька рівнянь з двома (або більше) змінними утворюють систему рівнянь,якщо ставиться задача знайти множину спільних розв’язків цих рівнянь. Систему двох рівнянь з двома змінними позначають фігурними дужками і, зазвичай, записують у вигляді

        Наприклад

Розв’язати систему рівнянь– значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Система називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок, і несумісною,якщо вона не має жодного розв’язку.

Система рівнянь називається визначеною, якщо вона має скінченне число розв’язків, і невизначеною, якщо вона має нескінченну множину розв’язків.

Дві системи називаються рівносильними,якщо вони мають одну і ту саму множину розв’язків (тобто кожний розв’язок першої системи на цій множині є розв’язком другої, і навпаки кожний розв’язок другої системи є розв’язком першої).

Областю допустимих значень (ОДЗ) системи називають спільну область визначення всіх функцій, що входять до запису цієї системи.

Усі рівносильні перетворення систем виконуються на ОДЗ початкової системи.

Найпростіші властивості рівносильних систем:

1. Якщо змінити порядок запису рівнянь заданої системи, одержимо систему, рівносильну заданій.

2. Якщо одне з рівнянь системи замінити на рівносильне йому рівняння, то одержимо систему, рівносильну заданій.

3. Якщо в системі рівнянь з одного рівняння виразити одну змінну через інші й одержаний вираз підставити замість цієї змінної в усі інші рівняння системи, то одержимо систему, рівносильну заданій (на її ОДЗ).

4.  Якщо будь-яке рівняння системи замінити сумою цього рівняння, помноженого на число якогось іншого рівняння системи помноженого на число  ( а усі рівняння залишити без зміни), то одержимо систему, рівносильну заданій.

 

Системи- наслідки. Якщо кожний розв’язок першої системи рівнянь є розв’язком другої, то другу систему називають наслідком першої. При використанні систем-наслідків можлива поява сторонніх коренів, тому перевірка підстановкою розв’язку в початкову систему є складовою розв’язування системи.

Приклад 1. Розв’яжіть систему

Розв’язування. Із першого рівняння системи у = х-1.Підставимо в друге рівняння системи й одержимо = х. Звідси маємо = 0,  =1. Тоді = -1,  = 0.

Перевірка. Пара чисел (0;-1) задовольняє обидва рівняння системи і є її розв’язком. Пара чисел (1;0) не задовольняє перше рівняння системи і не є розв’язком системи.

Відповідь: (0;-1).

 

Основні методи розв'язування систем рівнянь:

1) Метод підстановки. Спочатку за допомогою якого-небудь рівняння системи виражають одну змінну через іншу. Отриманий вираз підставляють в інше рівняння системи, в результаті чого приходять до рівняння з одною змінною, потім розв’язують це рівняння і знаходять відповідне значення іншої змінної.

Приклад 2. Розв’яжіть систему

Розв’язування. Із першого рівняння системи у виразимо через х, тобто

у = 7- х. Підставивши в друге рівняння системи замість у вираз (7- х), дістаємо 

З другого рівняння системи знаходимо х.

 Звідси маємо = 3,  =4. Тоді = 4,  = 3.

Таким чином маємо (3;4); (4;3)

Відповідь: (3;4); (4;3).

 

2) Метод алгебраїчного додавання. При розв’язуванні системи цим методом переходять від даної системи до рівносильної їй системи, в якій одне з рівнянь містить лише одну змінну. При цьому звичайно множать одне або обидва рівняння на числові множники таким чином, щоб коефіцієнти при х або у були однаковими, але з протилежними знаками.

Приклад 3. Розв’яжіть систему

Розв’язування. Розв’яжемо систему рівнянь способом додавання. До першого рівняння додамо друге і  отримаємо:

 

Знаходимо х з першого рівняння.  х=4. Підставивши х=4 в друге рівняння отримаємо =1. Звідси у=0. Отже х = 4, у = 0

Відповідь:  (4;0).

 

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 950; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!