Метод введення нових змінних

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

Приклад 4. Розв’яжіть систему

Розв’язування.Розв’яжемо дану систему методом введення нових змінних: Позначимо

Зробивши заміну, дістанемо нову систему:

Використаємо метод алгебраїчного додавання, для цього друге рівняння домножимо на (-2) і додамо до першого.

Після виконання додавання отримаємо рівняння з однією змінною ; Звідси .

Повернемось до попередніх змінних:

а друге рівняння на 3 і викоємо додавння.

Звідси 5х=25, х=5 і у=3. Отже коренями системи є (5;3)

Відповідь:(5; 3).

Графічний метод.

Щоб розв’язати систему рівнянь із двома змінними графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків: ці координати і є розв’язками системи. Але спочатку виконаємо рівносильні перетворення заданої системи так, щоб було зручно будувати графіки всіх рівнянь, що входять до системи. Потім будуємо відповідні графіки і знаходимо координати точок перетину відповідних кривих: ці координати і є розв’язками системи

Приклад 5. Розв’яжіть систему

Розв’язування. Обидва рівняння якої є рівняннями другого степеня. Графіком рівняння =25 є коло, а графіком рівняння у = 5 - – парабола (рис.1) Ці графіки мають три спільні точки: (0;5), (-3;-4), (3;-4).

Рис.1

Легко перевірити, що координати кожної з цих точок є розв’язком як першого, так і другого рівнянь системи. Тобто, система має 3 розв’язки.

Відповідь: (0;5), (-3;-4), (3;-4).

Але цей спосіб не є основним способом розв’язування системи рівнянь, тому що він не завжди дає точні результати.

Види систем рівнянь

Симетричною системою рівняньназивається система, всі рівняння якої симетричні.

Вираз f ( x,y) називається симетричним,якщо при заміні х на у, у на х він не змінюється.

Приклади симетричних виразів:

f( x,y) = х + у; f( x,y) = f( x,y) =

f( x,y) = + ху; f( x,y) = .

Вирази (x+y) і xy називаються основними симетричнимимногочленамиз двома змінними. Усі симетричні вирази з двома змінними виражаються через основні симетричні многочлени, наприклад:

= - ху; - 2ху;

= (х+у)( - 3ху) = - 3(х + у)ху.

Симетричною системою рівнянь називається система, усі рівняння якої симетричні. Розв’язати симетричну систему можна, наприклад, за допомогою заміни змінних, де новими змінними є основні основні симетричні многочлени.

Приклад 6. Розв’яжіть систему

Оскільки - 2ху, то, поклавши х+у= приходимо до такої ситеми: Із цієї системи знаходимо ; Звідси має сукупність ;

Перша система сукупності має розв’язки (3;5), (5;3); друга система розв’язків не має.

Відповідь:(3;5), (5;3).

Система двох рівнянь з двома змінними називається однорідною,якщо ліві частини її рівнянь, що містять змінні, є однорідними многочленами степеня п від двох змінних. Таким чином, однорідна система з двома змінними має вигляд

Приклад 7. Розв’яжіть систему

Розв’язування. Ліві частини обох рівнянь системи –однорідні многочлени другого степеня від змінних х і у. Якщо в першому рівнянні покласти=0, то дістанемо

Однак пара (0;0), що є розв’язком першого рівняння системи, не задовольняє другому рівнянню, тому що ( це не приведе до втрати коренів). Поділивши обидві частини першого рівняння на

2+ - =0 =0. Зробивши заміну – t - 2= 0 . Тоді у=2х (х або у=-х ( х

Таким чином, початкова система рівносильна сукупності двох систем рівнянь:

Перша з цих систем має два розв’язки: ;

Друга система несумісна. Звідси (1;2), (-1;-2) – розв’язок початкової системи.

Відповідь: (1;2), (-1;-2).

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ.

1.Що таке система двох рівнянь з двома змінними?

2.Що називається розв’язком системи двох рівнянь з двома змінними?

3. Що означає розв’язати систему двох рівнянь з двома змінними?

4. Які дві системи рівнянь називаються рівносильними?

5. Назвати основні способи розв’язування систем рівнянь з двома змінними.

В чому полягає кожний із способів?

ВПРАВИ.

Розв’язати систему рівнянь:

Середній рівень

1) 2) 3) 4)

Достатній рівень

5 ) 6) . 7) 8)

Високий рівень

9) 10) 11)

Перевірочна робота

ВАРІАНТ 1

Початковий і середній рівні .

1. Укажіть пару рівносильних рівнянь:

            А)2х - 6=4 і х - 2=4; Б) 3х - 6=0 і 2х=4;

            В) х²- 9=0 і х+3=0;       Г) х² - 3х – 4=0 і х+1=0.

2. Яке рівняння не має коренів?

         А) = 2;     Б) = 1;       В) х³ = 2;         Г) = 1.

3. Укажіть систему, яка відповідає умові задачі: «Число х на 3 менше від числа у, а їхній добуток дорівнює 88. Чому дорівнюють ці числа?».

А)     Б) В) Г)

4..Знайдіть множину розв’язків нерівності 3(х - 2) 4х – 9.

5. Розв’яжіть рівняння х⁴ - 8х = 0.



6. Розв’яжіть нерівність | x −1| 2 .

Достатній рівень

7. Розв’яжіть рівняння 0 .

8. Розв’яжіть систему рівнянь

9. Двоє робітників виготовили за перший день 100 деталей. За другий день перший робітник виготовив деталей на 20 % більше, ніж за перший день, а другий робітник - на 10 % більше, ніж за перший день. Усього за другий день вони виготовили 116 деталей. Скільки деталей виготовив за перший день перший робітник?

Високий рівень

У завданні 10 необхідно надати докладні пояснення.

10. Розв’яжіть рівняння

ВАРІАНТ 2

Початковий і середній рівні .

1. Яке рівняння рівносильне рівнянню sinx =2 ?

             А) tg x = 2; Б) =2;      В)2^х + 3=2       Г) = -2.

2. Яке рівняння не має коренів?

            А) = 0,9;   Б) = −1; В) х³ = −0,9;   Г) = −1.

3.Укажіть систему рівнянь, яка відповідає умові задачі: «Периметр прямокутника

дорівнює 28 дм, а діагональ дорівнює 10 дм. Знайдіть сторони а і b прямокутника».

А) Б) В)    Г)

4.Знайдіть множину розв’язків нерівності 2(х + 3) 4х +10.



5. Розв’яжіть рівняння х³ – х² = 0.

6. Розв’яжіть нерівність | x +2| 3 .

.

Достатній рівень

7. Розв’яжіть рівняння 2^3х−8∙2^2х−2^х+8=0

8. Розв’яжіть систему рівнянь

9. Знайдіть двозначне число, якщо відомо, що цифра одиниць шуканого числа на 2 більше цифри його десятків і добуток числа на суму його цифр дорівнює 144.

Високий рівень

У завданні 10 необхідно надати докладні пояснення.

10 Розв’яжіть рівняння: 6sin² x − 3sin x cos x − 5cos² x = 2 .

ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 831; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!