КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 16 страница

элементе можно приближенно считать постоянной:

СиЪ

Е 1 г

а напряжение « = -т-— IEdt— пропорциональным интег- RC RC J

о

ралу напряжения источника ЭДС Е.

Если на входе цепи действует источник изменяющейся ЭДС е, то может оказаться, что для моментов времени переходного процесса,

,                                            du_r„ de

в которыеu_R< и_с, приближенно и_с « е, а % = Дг =RC-^-«не­пропорционально скорости изменения напряжения источника. Сле­довательно, цепь с последовательным соединением резистивного и емкостного элементов, так же как и цепь с последовательным соеди­нением резистивного и индуктивного элементов, рассмотренную выше, при определенных условиях можно рассматривать и как ин­тегрирующую, и как дифференцирующую.

В большинстве случаев процесс зарядки можно считать практи­чески закончившимся через интервал времени, равный Зт. Этот ин­тервал времени может быть достаточно большим (чем большеRи С, тем больше и т), что широко используется, например, в реле вре­мени — устройствах, срабатывающих по истечении определенного времени.

Разрядка емкостного элемента через резистивный элемент.

В электрическом поле заряженного емкостного элемента сосредо­точена энергия [см. (2.13)], за счет которой емкостный элемент в те­чение некоторого времени сам может служить источником энергии. После подключения емкостного элемента, предварительно заряжен­ного до напряжения и_с = Е, к резистивному элементу с сопротивле­ниемR(рис. 5.5, а) ток в цепи будет обусловлен изменением заряда

qемкостного элемента (2.11):

' =-f_t = -^c%<^SM>

где знак минус указывает, что г — это ток разрядки в контуре цепи, обозначенном на рисунке штриховой линией, направленный навстре­чу напряжению на емкостном элементе.

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса в контуре цепи, обозначенном на рис. 5.5, а штриховой линией, на ос­нове второго закона Кирхгофа, закона Ома и соотношения (5.23):

du

u_R-u_c=Ri-u_c= RC-j£- + u_c= 0.                             (5.24)

Е R

ч

Е

t

т

О

а

б

Рис. 5.5

Так как в цепи разрядки емкостного элемента нет источника ЭДС, то дифференциальное уравнение (5.24) однородное и его общее ре­шение состоит только из свободной составляющей (5.20):

и_с = и_Ст = Ae~^^RCl

Для определения постоянной А в (5.25) обратимся к закону ком­мутации для емкостного элемента (5.2). Так как до коммутации, т.е. и в момент времениt= 0_, емкостный элемент был заряжен до на­пряжения источника, то

и_с( 0_) = Е= и_с{ 0₊) = А.

Подставив значение постоянной А в (5.25), получим закон изме­нения напряжения при разрядке емкостного элемента (рис. 5.5, б):

и_с = Ee~^f/\

где т =RC—постоянная времени цепи. Разрядный ток найдем по (5.23):

Ток разрядки скачком изменяется от нуля до значения г(0₊) = = E/R, а затем убывает по экспоненциальному закону (рис. 5.5, б).

5.6. Разрядка емкостного элемента в цепи с резистивным и индуктивным элементами

Большое практическое значение имеет цепь разрядки емкостно­го элемента через последовательно соединенные индуктивный и ре­зистивный элементы, например в генераторах импульсов напряже­ний с конденсаторами в качестве источников энергии.

(5.25)

Предположим, что емкостный элемент С (рис. 5.6) был сначала заряжен от источника постоянной ЭДС до напряжения, равного Е (ключSв положении 1). Затем ключ 5 переводится в положение 2 и

емкостный элемент подключается к последовательно соединенным индуктивномуLи резистивномуRэлементам (эти элементы прак­тически могут быть элементами схемы замещения катушки индук­тивности).

Емкостный элемент начинает разряжаться (ток разрядки г), его зарядqи напряжение и_с убывают. При этом энергия электрическо­го поля емкостного элемента преобразуется в энергию магнитного поля индуктивного элемента и частично рассеивается в резистив­ном элементе.

Запишем для контура цепи, обозначенного штриховой линией, дифференциальное уравнение на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:

di

—и_с + u_R+ u_L= —и_с + Ri + L—= 0.                  (5.26)

г =

(5.28)

0,

(5.29)

Так как положительные направления тока и напряжения на ем­костном элементе противоположны, т.е. токi — это ток разрядки, то, как и для цепи на рис. 5.5, а,

(5.27)

После подстановки (5.27) в (5.26) получим однородное диффе­ренциальное уравнение цепи второго порядка:

_т ^ d²u_{r п} ^ du_r

характеристическое уравнение которого

LCp²+ RCp +1-0.

Общее решение однородного дифференциального уравнения вто­рого порядка (5.28) состоит только из свободной составляющей:

(5.30)

Р21

и_с = иссв = Ae^Plt+ Ле

R ^ Г¥~

^тер^=-2Ь^±Ш² ния (5.29).

В зависимости от значений параметров элементов цепи процесс разрядки может быть апериодическим или колебательным.

^ R^{2 1} *

1 LC

корни характеристического уравне-

Рис. 5.6

При ^>Jjj°ба корня характеристи­ческого уравнения действительные отрица­тельные и разрядка емкостного элемента имеет апериодический характер; при

R² 1

^< Yxj^коР^ни комплексные и сопряженные и разрядка имеет

колебательный характер.

Колебательный процесс разрядки. В этом случае корни харак­теристического уравнения комплексные и сопряженные:

Pi,2 = -8 ± jwo,                             (5.31)

где 8 =R/2L — коэффициент затухания] = yJ\/(LC - б²) — соб­ственная угловая частота колебательного процесса.

Подставив комплексные значения корней в (5.30), получим за­висимости от времени при колебательном процессе напряжения на емкостном элементе и затем по (5.27) разрядного тока:

и_с = е'^А&ы +                                    (5.32а)

diL

i =          = -Се-^-ЬА&ы + А₂е ~^JW"^<) +

+ juotiA^ - A₂e~^j"»%(5.326)

Для определения постоянных интегрирования А_х и А₂ обратим­ся, как и в других задачах, к законам коммутации для индуктивного [см. (5.1)] и емкостного [см. (5.2)] элементов. До коммутации и, в частности в момент времениt= 0_, непосредственно предшество­вавший коммутации, напряжение на емкостном элементе равнялось ЭДС Е источника, а тока в индуктивном элементе не было. Поэтому

и_с{ 0_) = Е = u_c(0₊)= А_Х + А₂; г(0_) = 0 = г(0₊) = С[Ь(А_Х + А₂) -j^A,- А₂%

откуда

А_х = Е(6 + ju₀)/2ju₀] А₂ = E(ju₀- b)/2ju₀.

Подставим эти значения в (5.32а) и учтем, что по формуле Эйле­ра (2.25)

_e±M,t_ _cosu;()£± jsm{jj₀t.

В результате получим зависимость изменения напряжения на ем­костном элементе от времени в виде

Е

и_с= —e~⁶*(u;ocosu;o£ + 8sinu)₀£)-               (5.33)

Ujq

Сумму косинусоидальной и синусоидальной функций можно за­менить одной синусоидальной функцией. Для этого положим, что отношение u;₀/6 = tgop, т. е. будем считать, что и;₀ и 6 — катеты прямо­угольного треугольника (рис. 5.7), гипотенуза которого

Рис. 5.7

Vw²₀+ б² = yJl/(LC)-b² +6²= 1 /у/LU. Разделив и умножив (5.33) на 1 / VLC, получим

^Е ' e~^btsm(u₀1+ г|>), (5.34)

иОцуГЬС

е 6*sinu)0£.

(5.35)

и по (5.27) разрядный ток будет ^г~ ^Сdt ~

u₀L

Зависимости (5.34) и (5.35) показывают, что напряжение емкос­тного элемента и разрядный ток можно рассматривать как синусои­дально изменяющиеся во времени величины, но с амплитудами, уменьшающимися по экспоненциальному закону при постоянной времени т = 1/6 = 2L/R.

Для построения соответствующих зависимостей можно сначала

Е

построить вспомогательные экспоненты ±--------------- е~^ы для напря-

_Е                             u)₀y/LC

жения (рис. 5.8) и ±—-е~^ы для тока. Кривые изменения напряже- u)₀L

ния и тока (рис. 5.8) должны вписаться в пределы, ограниченные указанными вспомогательными экспонентами. Для нахождения ха­рактерных точек кривой изменения напряжения на емкостном эле­менте, таких, как гл_с(0) = Е иu_c(t) = 0, на рисунке показана точками вспомогательная кривая — синусоида.

R² 1

ис,г

Апериодический процесс разрядки. Если > то действи­тельные корни характеристического уравнения (5.29) имеют отри­цательные различные значения, причем р₂< р\< 0. Для нахожде­ния а_г и а₂ в общем решении (5.30) воспользуемся аналогично пре-

sin(w0£ 4- гр)

 

дыдущему законами коммутации для емкостного и индуктивного элементов:

и_с( 0_) = Е = и_с( 0₊) = А_г + А₂;

»(0_) = 0 = г(0+) = -С^

=           + р2а2\ 1=0+

1и_с di

т. е.

А_г = -J^— > о,

Р₂ - Pi               Pi - Р2

Подставив найденные значения постоянных интегрирования в (5.30), получим напряжение на емкостном элементе:

Р₂ - Pi Pi - Р2

и ток разрядки:

dt     р₂ - Pi

Кривые изменения напряжения и тока показаны на рис. 5.9, где штриховыми линиями нанесены также вспомогательные экспонен­ты. В течение всего переходного процесса напряжение и ток остаются положительными, т. е. разрядка емкостного элемента апериодическая.

Для предельного случая апериодического процесса при R²/(4L²) = = 1/(LC)характеристическое уравнение имеет два одинаковых дей­ствительных корняPi= р₂ = р = -R/(2L)(кратные корни). При кратных корнях общее решение дифференциального уравнения (5.28) отличается от (5.30) и записывается в виде

и_с ={Ai+ А₂)е^р\

где постоянные А_г и А₂ определяются на основании законов комму­тации. Напряжение на емкостном элементе и ток во время предель­ного апериодического процесса разрядки

5.7. Подключение неразветвленной цепи с индуктивным, резистивным и емкостным элементами к источнику постоянной ЭДС

В отличие от процесса разрядки емкостного элемента в цепи на рис. 5.6, описываемого однородным дифференциальным уравнени­ем (5.28), процесс зарядки в аналогичной цепи от источника посто­
янной ЭДС Е (рис. 5.10, а) описывается неоднородным дифферен­циальным уравнением

d²u_cRC^duc

dt²

Решение этого уравнения представляет собой наложение уста­новившегося и свободного процессов

и_С = и_Су + и_Ссв,

(5.36а)

(5.366)

где составляющая свободного процесса совпадает с (5.30), а состав­ляющая установившегося процесса и_Су = Е (зарядка до напряже­ния, равного ЭДС), т.е. общее решение для напряжения на емкост­ном элементе, имеет вид

и_с—Е+ А_xe^Ptt+ A₂e^pJ,

и зарядный ток

dii

г =      =piC!A₁e^p'^t+ р₂СА₂е"<К

at

До замыкания ключа напряжения на емкостном элементе и тока в цепи не было. Поэтому в соответствии с законами коммутации получим для момента замыкания ключа(t= 0) два уравнения для определения двух постоянных А_х и А₂:

и_с( 0_) = 0 = и_с( 0₊) = Е + А_х + А₂;

г(0_) = 0 = г(0₊) = р_хА_х + р₂А₂, откуда определяются постоянные:

Аг = Р2ЕЦР1 - ft), А₂ = р_хЕ/(р₂ - _Pl).

LC

Ограничимся здесь анализом колебательного [см. (5.31)] процесса зарядки. Выполнив преобразования, аналогичные переходу от (5.33)

ис,г

 

к (5.34), получим зависимости изменения во время напряжения на емкостном элементе и зарядного тока (рис. 5.10, б):

Е

i = cdu

^ис = ^ис_у + ^Ссв = ^Е - u₀JLC^{eЫ Sin(u,}°* ⁺ Е -я

- е ^ыsin u_Qt. dt u)_nL ^u

Напряжение на емкостном элементе достигает наибольшего зна­чения в момент времениt= тт/^о- Оно тем больше, чем постоянная временит = 1/6 больше периода собственных колебаний Т₀ = 2тг/и;₀, и в пределе может превышать почти в 2 раза установившееся напря­жение. Такое перенапряжение может быть опасно для изоляции вы­соковольтных установок. Чтобы исключить перенапряжение, нуж­но осуществить апериодический режим зарядки, например включить последовательно в цепь добавочный резистор.

5.8. Подключение неразветвленной цепи с индуктивным и резистивным элементами к источнику синусоидальной ЭДС

В неразветвленной цепи (рис. 5.11, а) с источником синусоидаль­ной ЭДС е = и ={7_msin(uj£ + a|;J,при установившемся режиме си­нусоидальный ток согласно (2.46)

iy = /_msin(u;£ + i|>_tt- ф),

гдеI_m=U_m/yjR²+ (wL)²— амплитуда тока; ip = arctg(u)L/R) — аргумент комплексного сопротивления цепи; i|;_u— начальная фаза.

Неоднородное дифференциальное уравнение переходного про­цесса, возникающего после замыкания ключа, подобно уравнению (5.4), т. е. имеет вид

^ul + ^ur— Ldi/ dt + Ri = e.

Его общее решение равно сумме свободной [см. (5.7)] и устано­вившейся составляющих тока:

i= i_y + гсв = 4sm(ut + - ф) + Ае ^L.

На основании закона коммутации для индуктивного элемента [см. (5.1)] в момент времениt — 0 справедливо соотношение

г(0_) = 0 =t(0₊) = /_msin(^_w- _Ф) + А, откуда определяется постоянная интегрирования:

А =-I_msinCita - ф).

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 347; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!