КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 15 страница

Применительно к электрическим цепям в качестве частного ре­шения неоднородного дифференциального уравнения выбирают ус­тановившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существу­ет), т.е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют ис­точники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряже­ния и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают г_у и и_у и называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения опи­сывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного про­цесса обозначают г_св и и_св и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых рав­но порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энерги­ей, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкост­ных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, и энергией этих элементов при но­вом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией. Энергия элементов не может изменить­ся скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

3. Наконец, в общем решении г = г_у + г_св, и = и_у + и_св следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т.е. условий в цепи в начальный момент времени после коммута­ции. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т.е. что коммутация в заданный момент времениtпроисходит мгновенно. При таких коммутациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном элементе в начальный момент времени после комму­тацииt₊такие же, как в момент времени, непосредственно предше­ствовавший коммутацииt_.Эти условия получаются из законов ком­мутации.

5.3. Законы коммутации

Законы коммутации утверждают, что ток в индуктивном эле­менте и напряжение на емкостном элементе не могут изменяться скачком.

Докажем сначала закон коммутации для индуктивного элемен­та. Предположим, что в течение интервала времени от момента t_xдо моментаt₂ток в индуктивном элементе изменяется от значения до значенияi_L(t₂).При этом средняя мощность изменения энергии магнитного поля индуктивного элемента [см. (2.5)] будет равна

AW_{M =}Lil(t₂)-il(t_l) At2t₂-t_x

Если интервал времениAt=t₂ — t_bBтечение которого происхо­дит изменение тока в индуктивном элементе, стремится к нулю и ^ 4(ti)>^то средняя мощность изменения энергии магнитного поля стремится к бесконечности.

Так как цепей бесконечно большой мощности не существует, то изменение тока в индуктивном элементе скачком невозможно. Этот вывод и является законом коммутации для индуктивного элемента, который можно записать в следующем виде:

i_L(t_) = гМ,                                    (5.1)

гдеt — момент времени, в который произошла коммутация в цепи.

Закон коммутации для емкостного элемента легко получить по ана­логии с доказанным законом коммутации для индуктивного элемента. Действительно, сравнивая выражения для энергии магнитного поля индуктивного элементаW_M=ЬгЦ2 и энергии электрического поля ем­костного элементаW₃=Сис/2 [см. (2.13)], видим, что относительно токаi_Lи напряжения и_с они аналогичны. Следовательно, анализ энер­гетических процессов в емкостном элементе приведет к выводу: изме­нение напряжения ни емкостном элементе скачком невозможно, т. е.

u_c(t.) =u_c{t₊\                                   (5.2)

гдеt — момент времени, в который произошла коммутация в цепи.

~ _Тdi_L

Те же законы коммутации следуют из соотношенииu_L— Lи

„du_c                                                             .            ^dt

г_с = С-^S так как при изменении скачком токаi_Lи напряжения

и_с получаются бесконечно большие значения напряженияu_Lи тока i_Cyчто нарушает выполнение законов Кирхгофа.

Токи в индуктивных элементахi_L(t_)и напряжения на емкост­ных элементахu_c(t_) непосредственно перед коммутацией называ­ются начальными условиями.

Если токи в индуктивных элементах и напряжения на емкост­ных элементах цепи в момент времени равны нулю, т.е.i_L(t_) = 0; u_c(t_)= 0, то эти условия называются нулевыми начальными услови­ями. В противном случае получаются ненулевые начальные условия.

5.4. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом

Рассмотрим несколько примеров переходных процессов, возни­кающих при коммутации в цепи постоянного тока с одним индук­тивным элементом.

Подключение источника постоянной ЭДС к неразветвленной цепи с резистивным и индуктивным элементами. Проанализируем переходный процесс в цепи при замыкании ключаSв момент вре­мениt= 0 (рис. 5.1, а), выполнив последовательно все этапы расче­та классическим методом (см. 5.2). В дальнейшем для сокращения решений математические операции отдельных этапов будем совме­щать.

(5.3)

(5.4)

a

1. При выбранных положительных направлениях тока г и напря­женийu_Rиu_Lсоставим систему уравнений, описывающих состоя­ние цепи на основе второго закона Кирхгофа, закона Ома и закона электромагнитной индукции:

^ul + ^ur— u_L= Ldi/dt;u_R= Ri.

Исключая из системы уравнений (5.3) переменныеu_Rиu_L,полу­чаем неоднородное дифференциальное уравнение переходного про­цесса первого порядка

Ldi/dt + Ri= E.

2. Найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения (5.4) как сумму его частного решения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:

0  t=T

t=3r

 

—%

б

Ldi/dt + Ri =0.                                (5.5)

Частным решением неоднородного дифференциального уравне­ния первого порядка (5.4) является постоянный ток (нет изменения тока иdi/dt= 0) после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно), т.е.

i_y= E/R,                                     (5.6)

называемый установившимся током.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это част­ное решение удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению (5.4).

Общее решение однородного дифференциального уравнения (5.5) называется свободным током

»с-в = Ле",                                  (5.7)

где р = —R/L — корень характеристического уравнения

Lp+R = 0.                                   (5.8)

Таким образом, с учетом (5.6) и (5.7) общее решение неоднород­ного дифференциального уравнения (5.4) имеет вид

Е —t

г = г_у + г_св = - + Ле ^L.                               (5.9)

3. Определим постоянную интегрирования А в общем решении (5.9). Для этого обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1) в момент времени замыкания ключаt= 0. Так как ток в индуктивном элементе не может измениться скачком, а до ком­мутации, т.е. в моментt= 0_, он был равен нулю, то

г(0_) = 0 = t(0₊) =E/R + А,

откуда

А = -E/R.                                  (5.10)

Подставив это значение постоянной А в (5.9), получим закон на­растания тока в цепи (рис. 5.1, б):

* = |(1-е-^(/т),                                  (5.11)

где т =L/Rимеет размерность времени (Гн/Ом или с) и называет­ся постоянной времени цепи. Постоянная времени определяет ско­рость нарастания тока и равна времени, за которое токiдостиг бы установившегося значенияiy = E/R,если бы скорость его измене­ния оставалась неизменной и равной начальному значению скорос-

di Е ти — = —.

dt _t=Q L

Переходный процесс часто можно считать практически закончив­шимся через интервал времени Зт с момента коммутации, когда ток достигнет значения г(3т) = 0,95E/R.

Так как зависимость тока от времени найдена (5.11), то нетрудно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5.1, б):

А*

-f Следовательно, в L

u_R— Ri = Е( 1 - е"'/^т); u_b=Lj_t =Ее~^ь'\ При 0 <t< т скорость изменения тока в цепи можно считать

di

приближенно постоянной и равной —

dt

t=о₊

этом интервале времени приближенно напряжение на резистивном элементе равно

t

u_R&jEt = j-fEdt,

о

т. е. пропорционально интегралу напряжения источника ЭДС Е. Та­кую цепь принято называть интегрирующей цепью.

При действии на входе цепи источника изменяющейся ЭДСe(t) может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процессаu_R» u_L.Для этих интервалов времени ток в цепи г « е/Д,

_Тdi L de ,

а напряжение на индуктивном элементеu_L&L—« — — прибли-

dt R dt

женно пропорционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту же цепь называют дифференцирующей цепью.

Короткое замыкание катушки индуктивности с током. Рассмот­рим переходный процесс в цепи катушки индуктивности с током, обладающей кроме индуктивностиLтакже сопротивлением Д, при замыкании ее накоротко ключомS.Подобные условия имеют место в обмотках электрических машин и аппаратов. Для этого предста­вим катушку индуктивности схемой замещения в виде последо­вательного соединения индуктивного и резистивного элементов (рис. 5.2, а).

Запишем дифференциальное уравнение переходного процесса в цепи после замыкания ключа:

u_l+ u_r=Ldi/dt + Ri= 0.                         (5.12)

Так как дифференциальное уравнение (5.12) однородное [совпа­дает с уравнением (5.5)], то его общее решение содержит только сво­бодную составляющую (5.7):

г = г_св = Ае~^^т,                            (5.13)

Рис. 5.2

 

где т =L/R — постоянная времени цепи.

Осталось найти значение постоянной А. Для этого опять обра­тимся к закону коммутации для индуктивного элемента (5.1). Так как до замыкания ключа и, следовательно, в момент времениt = 0_ в катушке был постоянный ток, равный E/(r + Д), то

г(0_) = Е/(г + Д) = <(0+) = А.

Подставив значение постоянной А в (5.13), получим ток в катушке индуктивности:

_{i =}          _*_/т                             (5.14)

r + R

Ток в катушке индуктивности после коммутации (рис. 5.2, б) под­держивается за счет энергии, накопленной в ее магнитом поле.

Теперь можно определить и зависимости от времени напряже­ний на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5.2, б):

u_R= Ri =                  ;

^R          r + R

_Tdi RE __t/r u_T= L— =     -e ^t/T.

^L dt r + R

Размыкание цепи с катушкой индуктивности. При размыкании неразветвленной электрической цепи с катушкой индуктивности между размыкающимися контактами возникает дуговой разряд. Та­кой разряд наблюдается, например, в скользящих контактах элект­рического транспорта. Чтобы дугового разряда не было, необходи­мо параллельно участку цепи между контактами включить резис­тор. На рис. 5.3, а приведена схема замещения электрической цепи, в которой катушка индуктивности представлена последовательным соединением индуктивногоLи резистивного Д элементов, а вык­лючатель представлен в виде параллельного соединения идеально­го ключа и резистивного элемента г.

Составим дифференциальное уравнение переходного процесса цепи после размыкания ключа:

% + Щ + u_r= Ldi/dt + (г + R)i= Е.                 (5.15)

Это дифференциальное уравнение полностью совпадает (с точ­ностью до обозначений элементов) с уравнением (5.4). Следователь­но, его общее решение аналогично (5.9):

i = iy+i_CB = -^ + Ae- i                                (5.16)

^J         r + R

гдеiy = E/(r + R) — установившаяся составляющая тока, равная постоянному току в цепи после размыкания ключа.

Для определения постоянной А в (5.16) обратимся к закону ком­мутации для индуктивного элемента (5.1). До размыкания ключа, т.е. и приt = 0_, в катушке был постоянный токE/R.Поэтому по закону коммутации

г (0_) =E/R = i{0+) - E/{r + R)+ Л,

откуда

А = E/R - E/(r +R) = rE/R(r + R).

Подставив значение постоянной А в (5.16), найдем ток в цепи катушки индуктивности после размыкания ключа (рис. 5.3, б):

^thhr'")-                                ^<5Л7>

где т =L/(r + R) — постоянная времени цепи.

Зная ток в цепи, нетрудно определить зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 5.3, б):

 

б

 

В первый момент времени после размыкания ключаt = 0+ на­пряжение на резистивном элементе г скачком возрастает от нуля гг_г(0_) = 0 до м_г(0+) =Er/R.Поэтому при г »Rмежду контактами ключа появляется значительное напряжение, которое и может выз­вать дуговой разряд.

5.5. Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним емкостным элементом

Рассмотрим процессы в цепи при зарядке и разрядке емкостного элемента.

Зарядка емкостного элемента от источника постоянной ЭДС через резистивный элемент. Переходный процесс в цепи на рис. 5.4, а описывается неоднородным дифференциальным уравнением на ос­нове второго закона Кирхгофа, закона Омаu_R— Riи соотношения между током зарядки и напряжением в емкостном элементе

i = C[см. (2.11)], т.е.

at

uii

<u_R+u_c= Ri + u_c= RC—f + u_c= E.(5.18)

dt

Общее решение уравнения (5.18) представляет собой сумму двух составляющих:

^UC = ^uCy + ^uCcn-

E R

г,и E

0,95 E

Зт t

S

0

т

a

б

Первая составляющая соответствует установившемуся режиму

г/_Су = Д                                  (5.19)

так как зарядка емкостного элемента закончится, когда напряжение и_с будет равно напряжению источника ЭДС.

Вторая составляющая соответствует свободному процессу, т. е. ре­шению однородного дифференциального уравнения первого порядка

ЯС^ + и_с= О,

и равна

у>ссв = Ае^р\                             (5.20)

где р = —1/RC— корень характеристического уравнения

RCp+1 = 0. Таким образом, общее решение будет иметь вид

= и_Су + и_Ссв = Е+ Ae-«^RC.                      (5.21)

Для определения значения постоянной А в (5.21) обратимся к закону коммутации для емкостного элемента (5.2). Будем считать, что до замыкания ключа, т. е. в момент времениt — 0_, емкостный элемент не был заряжен. Поэтому

и_с( 0_) = 0 = и_с( 0₊) = Е + А,

откуда А — -Е.

Подставив значение постоянной А в (5.21), найдем напряжение на емкостном элементе во время зарядки (рис. 5.4, б)\

и_с = Е( 1 - е"'/^т),                             (5.22)

где т =RCимеет размерность времени (Ом -Ф = Ом -А с/В = с) и называется постоянной времени цепи. Она, как и постоянная време­ни цепи на рис. 5.1, определяет скорость переходного процесса.

Зависимость от времени напряжения на емкостном элементе [см. (5.22)] определяет зависимости от времени зарядного тока и напряжения на резистивном элементе (рис. 5.4):

_{= C}duc_ ₌ Е _t, _{= = Ее}_,_/Т ^сdt R    ^R

Заметим, что в первый момент после замыкания ключа, т. е. при t = 0₊, ток в цепи г(0₊) =E/R;емкостный элемент в этот момент времени как бы коротко замкнут (напряжение на нем равно нулю). Поэтому при малом значении сопротивленияRв цепи может на­блюдаться значительный скачок тока.

При 0 <t^ т скорость изменения напряжения на емкостном

<=0, RC'

Е

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 357; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!