КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 14 страница

i_c= U_CG = jB(a² - 1 )Ё_А = const.

Фазные токи несимметричного приемника, фазы которого соеди­нены треугольником (рис. 3.19), при заданных линейных напряже­ниях определяются по закону Ома:

Iab— U_AB/Z_AB\ I_BC= U_BC/Z_B(j.; I_CA—U_CA/Z_CA.

Линейные токи рассчитываются на основании первого закона Кирхгофа:

IA — Iab — ICA\ IB— 1вс ~ IAB\ IC ~ IСА ~ I Be­rn

При расчете более сложной несимметричной трехфазной цепи, например изображенной на рис. 3.15, а, с несимметричными прием­никами все приемники путем преобразований заменяются эквива­лентным, фазы которого соединены звездой. Эти преобразования выполняются в той же последовательности, что и для симметрич­ных приемников (см. рис. 3.15, б и в), но сопротивление каждой фазы эквивалентного приемника приходится вычислять отдельно.

ГЛАВА 4

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

4.1. Общие сведения

Синусоидальные колебания являются самой простой формой пе­риодического процесса. В сетях электроэнергетических систем при­нимается ряд мер для поддержания синусоидальной формы пере­менных токов и напряжений и устранения различных отклонений от синусоидальной формы. Но, например, в цепях электросвязи, электронных и полупроводниковых устройств отклонение от сину­соидальной формы часто обусловлено самим рабочим процессом устройства. Поэтому знание элементов теории несинусоидальных периодических токов необходимо для понимания принципов дей­ствия устройств автоматики, электронных приборов и самой различ­ной аппаратуры новой техники.

Периодическая несинусоидальная функция удовлетворяет усло­виюf(t) = f(t + kT), где Т— период функции, т.е. промежуток вре­мени, по истечении которого весь процесс повторяется сначала; к — целое число.

Такая периодическая функция, как известно из курса математи­ки, может быть представлена в виде гармонического ряда (ряда Фу­рье), в общем случае неограниченного, но при расчетах электричес­ких цепей часто с конечным числом п гармонических (синусоидаль­ных) составляющих или, короче, гармоник. Например, несинусои­дальный периодический ток

г = I₀+ I_lmsin(ut+ т\)_й) +J_2msin(2urt + г|;_й) + ... +I_nmsm(riu)t + гЮ, или

п

* = + sin(fcu>i + 4;*).                                (4.1)

к=1

В этом выражении /₀ — постоянная составляющая (постоянный ток); 7_lwsin(u)£ + г|)_й) — первая {основная) гармоника, частота кото­рой равна частоте несинусоидальной периодической функции — тока г; все остальные слагаемые называют высшими гармониками;

tyik — начальная фаза к-й гармонической составляющей, зависящая от начала отсчета времени(t = 0). Таким образом, периодический несинусоидальный ток можно представить в виде суммы постоян­ного тока и синусоидальных токов различных частот, кратных час­тоте первой гармоники, с различными начальными фазами. Такое представление часто применяется при расчетах цепей периодичес­ких несинусоидальных токов.

(4.2)

На рис. 4.1 приведен график периодического несинусоидального тока г, который содержит только первую г\ и вторую г^ гармоники. Аналогично (4.1) записываются разложения в гармонический ряд периодических несинусоидальных напряжений на любом участке цепи:

= +J2^Ukm+ 'Ф J>

A.=l

ЭДС источников

fc=1

и других величин.

Для расчета режима линейной цепи периодического несинусои­дального тока (цепи, у которой параметры элементов i?, L,С не за­висят от тока и напряжения) применим метод наложения (см. 1.12): каждую из гармонических составляющих и постоянную составляю­щую (если она есть) определим отдельно (независимо).

В качестве примера рассмотрим расчет тока в цепи по рис. 4.2 при заданном напряжении источника периодической несинусоидальной ЭДС:

u = е = U_lmsmwt+ C/_5msin(5u>£ + i|)_w5). Ток в этой цепи

г = /_lTOsin(w* - ф_х) +J_5msin(5u>£ + i|;_w5- ф₅),

 

где по закону Ома для первой гармоники 1_1т = .^1т , для

у/R + (1/шС)

пятой гармоники 1_Ът = . ^5ш                    и по (2.496)

у i2 + (1/ 5шС)

Фх = arctg(—1/ljCR); ф₅ = arctg(—l/5uCR).

При определении каждой из гармонических составляющих мож­но применять любые методы расчета цепей синусоидального тока, в том числе и комплексный.

4.2. Действующее значение периодической несинусоидальной величины

Мгновенные значения токов и других величин можно рассчитать, как было отмечено выше, с применением метода наложения. Но прак­тически весьма важно вычислить и действующие значения токов (на­пряжений, ЭДС), измеряемых амперметрами (вольтметрами).

Приведенное в 2.6 определение действующего значения [см. (2.17)] на основании сопоставления с тепловым действием постоянного тока справедливо для любого периодического тока. Поэтому действую­щее значение периодического несинусоидального тока определим выражением

I =                                                                       ⁽⁴-³⁾

Учитывая (4.1), интеграл

Т        т

Ji²dt = J ii dt

о        о

можно представить в виде суммы интегралов четырех типов:

1 )±flL sin²(fcw* + Ъ _ik)dt = *-f = II

о

так как этот интеграл по определению равен квадрату действующе­го значения 1_к гармонической составляющей тока А;-го порядка;

т

2) I f I₀I₀dt = Ц — это квадрат постоянной составляющей тока;

1 1

3) т/ hi km sin (fcwt + г|;_л)Л =^hhm f               + г|)_ik)dt = 0,

о                                              0

так как интеграл от синусоидальной величины за целое число пери­одов равен нулю;

1 ^Т

4) ут/4п4п sin(A;u)£ + я|>_Л)₈т(Ы + ф_а)<Й = 0,

где ки1 — номера гармоник, причем интеграл равен нулю, так как произведение синусоидальных функций можно заменить раз­ностью косинусоидальных:

sin|3sin^ = i[cos((3 - 4) - cos((3 + 4)],

т.е. подынтегральное выражение интеграла 4-го типа является раз­ностью двух косинусоидальных функций, интеграл каждой из кото­рых за целое число периодов равен нулю.

Таким образом, действующее значение периодического несину­соидального тока

/ =Jit + n + 11 + il+... + H

или

(4.4)

V к=1

т.е. действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной состав­ляющей и квадратов действующих значений всех гармонических со­ставляющих. Так же определяется действующее значение периоди­ческого несинусоидального напряжения:

V к=1

и аналогично любой другой периодической несинусоидальной ве­личины.

4.3. Мощность периодического несинусоидального тока

Выражение мгновенной мощности

р = иг                                      (4.6)

справедливо для токов и напряжений с любой формой кривой.

Активная мощность любого периодического тока по определению равна среднему за период значению мгновенной мощности:

т           т

p = if_pdt = if uidt.                           (4.7)

О          о

После подстановки в (4.6) напряжения и [см. (4.2)] и тока г [см. (4.1)] в виде рядов активная мощность будет представлена суммой интегралов таких же четырех типов, которые были рассмотрены при определении действующего значения периодического несинусои­дального тока:

1) ~ JU_km sm(kut +          sin(ku)t + i\)_ik)dt = U_kI_k cos^,

о

где

= 'Фик - 'Фг* (вычисление интеграла см. в 2.14);

т

2) ±fWt=U₀I_Q] 1 ^Т

3) - J sin (Ахи £ +I\)_ik)dt = 0;

о

1 ^Т

у /№»sin(fcut + я|)_uk)dt = 0; т

1n

4) уJ^ukm sin(A;uЛ + я|\*)4» + = 0

о

при к^ I

Таким образом, активная мощность

P = U₀I₀ + £u_kI_kco_S4>_k,                        (4.8)

к=1

т. е. активная мощность периодического несинусоидального тока рав­на сумме активных мощностей всех гармонических составляющих и мощности постоянных составляющих напряжения и тока (мощнос­ти постоянного тока).

Реактивной мощностью периодических несинусоидальных токов можно условно считать величину

п

Q= ^U_kI_ksmy_k.

Полная мощность периодического несинусоидального тока оп­ределяется также условно:

S = UI > у/Р^[6] + Q².

Электрические фильтры

В цепи периодического несинусоидального тока для различных гар­монических составляющих этого тока индуктивные сопротивления катушекkuLи емкостные сопротивления конденсаторов1/(киС) зависят от номера к гармонической составляющей.

На зависимости индуктивных и емкостных сопротивлений от ча­стоты основан принцип работы электрических фильтров — уст­ройств, с помощью которых гармонические составляющие токов и напряжений определенной частоты или в пределах определенной полосы частот значительно уменьшаются.

(4.9)

Сглаживающие фильтры. Сглаживающие фильтры служат для уменьшения процентного содержания на сопротивлении нагрузки гармонических составляющих выпрямленного напряжения или сни­жения процентного содержания высших гармоник в кривой пере­менного напряжения.

Рассмотрим работу простейшего сглаживающего фильтра (рис. 4.3), представляющего собой пассивный линейный четырехполюсник, к выходным выводам которого подключен приемник с сопротивлени­ем нагрузки i?2_n. Коэффициент передачи напряжения [см. (2.90а)] фильтра, цепь которого вместе с приемником представляет собой цепь со смешанным соединением ветвей (см. 2.18), равен

1 VI          J2'

0

Рис. 4.5

U -J—о

1 о-

_TVYV\. L R

о- V

ЛЬ

Рис. 4.6

Соответствующая амплитудно-частотная характеристика фильтра

км =

приведена на рис. 4.4. Чем выше частота гармоники напряжения на входе и_вх фильтра, тем меньше ее процентное содержание в напря­жении на его выходе и_вых (рис. 4.5). Аналогичными свойствами об­ладает сглаживающий фильтр по схеме на рис. 4.6.

Резонансные фильтры. В резонансных фильтрах используются явления резонансов напряжений и токов в электрических цепях (см. 2.21) для выделения или исключения в кривой напряжения на приемнике определенной полосы частот. Соответствующие фильт­ры называются полосовыми и заградительными.

На рис. 4.7, а приведена схема простейшего полосового фильтра на основе явления резонанса напряжений, а на рис. 4.7, б — его амп­литудно-частотная характеристика, найденная по формуле (2.76в):

я

•2н

КМ

а

б

Рис. 4.8

Ширина полосы частот Ди, выделяемая фильтром, на уровне

К_и = 1/V2 тем меньше, чем больше добротность цепиQ =

км =

В заградительном фильтре по схеме на рис. 4.8, а используется явление резонанса токов. Его амплитудно-частотная характеристика

R_2H\(1-U²LC)\ + Л|_н( 1 - u²LC)²

приведена на рис. 4.8, б. Ширина полосы частот Дц>, заграждаемых фильтром, определяется на уровне К_и =1/V2.

Комбинации явлений резонансов напряжений и токов в различ­ных ветвях фильтра позволяют создавать полосовые и заградитель­ные фильтры высокого качества.

Избирательные ЯС-фильтры. Фильтры, Содержащие только ре­зисторы и конденсаторы, называютсяRC-филътрами. Отсутствие в них индуктивных элементов делает их привлекательными для реа­лизации в виде интегральных микросхем. Примером полосового ДС-фильтра может служить четырехполюсник (рис. 4.9, а), называ-

емый мостом Вина, с коэффици­ентом передачи напряжения при разомкнутой цепи нагрузки

К_и = Z₂/{Z_X+Z₂\(4.10)

(4.11)

гдеZ_x= -j/(wCi) + Яу иZ₂= = 1/(1/Д₂ +juC₂)— комплекс­ные сопротивления.

Амплитудно-частотнаяK_u(w) и фазочастотная 0_u(u>) характери­

стики моста Вина приведены на рис. 4.9, б. Максимальное значение амплитудно-частотной характеристики равно 1/3 и достигается при угловой частоте

1

⁰yj R₁R₂C_lC₂

При этом фазочастотная характеристика пересекает ось абсцисс, т.е. 0 = 0.

Заградительный Д С-фильтр можно реализовать с помощью двой­ного Т-образного моста (рис. 4.10). При разомкнутой цепи нагрузки минимуму его амплитудно-частотной характеристики соответству­ет угловая частота u;₀= 1 /(ДС). Доказательство этого условия дос­таточно трудоемкое и здесь не приводится.

R

R

о— V L

-------------------- J 2' Рис. 4.10

Возможны и другие схемотехнические решения избирательных ДС-фильтров.

ГЛАВА 5

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

5.1. Общие сведения

Переходные процессы возникают в электрических цепях при раз­личных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т.е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах в цепи, при корот­ких замыканиях отдельных участков цепи и т.д.

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, т. е. индуктивных и емкостных элементов в соот­ветствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного [см. (2.5)] и электрического [см. (2.13)] полей этих эле­ментов не может изменяться скачком при коммутации в цепи.

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным урав­нением — неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или не содержит источники ЭДС и тока. Заметим, что пере­ходный процесс в линейной цепи описывается линейными диффе­ренциальными уравнениями, а в нелинейной — нелинейными.

В дальнейшем ограничимся расчетом переходных процессов в ли­нейных цепях, содержащих элементы с постоянными параметрами.

Для решения линейных дифференциальных уравнений с посто­янными параметрами разработаны различные аналитические мето­ды: классический, оперативный, метод интеграла Фурье и другие, которые применяются и для расчета переходных процессов. Огра­ничимся применением классического и операторного методов. Пер­вый обладает физической наглядностью и удобен для расчета про­стых цепей, а второй упрощает расчет сложных цепей.

5.2. Классический метод расчета переходных процессов

Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметра­ми методами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом со­держит следующие этапы.

1. Прежде всего необходимо составить систему уравнений на ос­нове законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока г или напряже­ния и. Для простых цепей получается дифференциальное уравне­ние первого или второго порядка, в котором в качестве искомой ве­личины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напря­жение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неодно­родного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частно­го решения неоднородного дифференциального уравнения и обще­го решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 478; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!