КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 8 страница

о

При нескольких последовательно соединенных резистивных ин­дуктивных и емкостных элементах комплексное сопротивление

 

реактивное сопротивление этой неразветвленной цепи. В активном сопротивлении происходит необратимое преобразование электри­ческой энергии в другие виды энергии, а в реактивном сопротивле­нии необратимых преобразований нет.

Введенные здесь понятия об активном и реактивном сопротив­лениях неразветвленной цепи применяются и для характеристики более сложных цепей. В общем случае можно говорить об активном

и реактивном сопротивлениях любой пассивной цепи синусоидаль­ного тока, имеющей два вывода, т.е. пассивного двухполюсника.

Напряжение на элементах схемы замещения, соответствующих активному или реактивному сопротивлению цепи, называется па­дением напряжения.

Выражению (2.48) соответствуют треугольники сопротивлений на комплексной плоскости. На рис. 2.26, а и б построены треугольники сопротивлений при X > 0 и X < 0, т. е. при индуктивном и емкост­ном характере комплексного сопротивления. Там же показаны схе­мы замещения соответствующих цепей. Из треугольников сопротив­лений наглядно определяются тригонометрическая и показательная формы комплексного сопротивления неразветвленной пассивной цепи, совпадающие с выражениями (2.45), причем полное сопротив­лениеZи аргумент ф комплексного сопротивления (2.48) будут

Z=                                              (2.49а)

ф = arctg{X/ R).                           (2.496)

Если для каждого участка неразветвленной цепи известно комп­лексное сопротивлениеZ_k,то сопротивление неразветвленной цепи

п

z = ^,£z_k = z₁+z_A+... + z_k+... + z_a,

k=1

где п — число участков.

2.12. Активное, реактивное, комплексное и полное сопротивления пассивного двухполюсника

На рис. 2.27 внешний относительно источника энергии пассив­ный участок цепи представлен в виде пассивного двухполюсника Я. Параметром такого пассивного двухполюсника является его вход­ное комплексное сопротивление, т.е. комплексное сопротивление между выводами а и Ь:

Z = Ё/i = U/i =Z/ф = Z cos ф +jZ simp =R + jX,

гдеU =        иI = IZx\>_{ — комплексные

_____ —
	и
чй
	П

а -ОН

E=U

©

Рис. 2.27

значения напряжения и тока цепи; ф = ^ — — — аргумент комплексного сопротивле­ния, причем |ф| ^ тт/2. Из полученного вы­ражения следует, что любой пассивный двухполюсник можно представить эквива­лентной схемой замещения, состоящей из последовательного соединения элемента с активным сопротивлениемRи элемента с

U, = JXI u=zi

+i

Рис. 2.28

о

0

+1

б

a

реактивным сопротивлением X. Полное сопротивление пассивного двухполюсника определяется по (2.49а). В зависимости от знака ре­активного сопротивления X комплексное сопротивление пассивно­го двухполюсника имеет индуктивный (X> 0, рис. 2.26, а) или ем­костный (X < 0, рис. 2.26, б) характер.

На рис. 2.28 для пассивного двухполюсника на рис. 2.27 построе­ны векторные диаграммы, на которых t/_a=RIи С/_р =jXI — ак­тивная и реактивная составляющие напряжения Uмежду вывода­ми пассивного двухполюсника.

Векторы комплексных напряжений С/_а, С/_р иUобразуют на комп­лексной плоскости треугольник напряжений: U = U._d+ С/_р. Модуль вектора активной составляющей напряженияU._A— C/coscp, и этот век­тор совпадает по фазе с вектором тока /. Модуль вектора реактив­ной составляющей напряжения t/_p= (7|simp|, и этот вектор сдвинут по фазе относительно вектора тока / на угол |тт/2|: индуктивное ре­активное напряжение опережает по фазе ток / на угол тт/2 (рис. 2.28, я), емкостное реактивное напряжение отстает по фазе от тока / на угол тт/2 (рис. 2.28, б). Из треугольников напряжений следует, что

u = 4ul+ul.

2.13. Энергетические процессы в резистивном, индуктивном и емкостном элементах

Энергетические процессы в цепях синусоидального тока доста­точно сложные, так как физические процессы в их различных эле­ментах неодинаковы.

Резистивный элемент. В резистивном элементе с сопротивлени­емRпри напряженииu_R= U_Rmsinutтокi_R=u_r/R = I_Rrnsmut,т.е.

совпадает по фазе с напряжением. В любой момент времени мощ­ность резистивного элемента (мгновенное значение мощности)

PR = n_Ri_R= U_RmI_Rm sin² wt=¹Ыеш_{1 _ _cos2ut).

б

На рис. 2.29, а показаны мгновенные значения токаi_R,напряже­нияu_Rи мощностиp_Rдля резистивного элемента. Мгновенная мощ­ность в резистивном элементе в любой момент времени положитель­ная, т.е. в течение любого интервала времени в резистивный эле­мент поступает энергия и происходит необратимое преобразование электрической энергии источника в другие ее виды.

«л, Pr

 

 

в

 

Средняя за период мощность, т. е. активная мощность, резистив­ного элемента

т

PR=ffPR^dt=Unh =RPr=IHG = GUI =Ur/R<(2.50) 0

гдеU_R= U_Rm/ V2 иI_R= I_Rm/>/2 — действующие значения напря­жения и тока.

Индуктивный элемент. Для индуктивного элементаL(рис. 2.29, б) напряжение

u_L= Ldi_L/dt = U_Lmsm(wt+ тт/2) =U_Lmcoswt

опережает по фазе токi_L= I_Lmsmwt(нулевая начальная фаза выб­рана у тока) на угол тт/2. Мгновенная мощность индуктивного эле­мента

Pl= ^ul4=U_LmI_Lm sinu)£cosu)£ =U_LmI_Lm g^g^ — f/_L/_Lsin2uj^,

Zi

т. е. изменяется по синусоидальному закону с частотой, в 2 раза боль­шей частоты тока. Мгновенная мощность положительна при нарас­тании по абсолютному значению тока в индуктивном элементе (не­зависимо от направления тока); в это время энергия накапливается в магнитном поле индуктивного элемента.

Определим энергию, поступающую в индуктивный элемент за четверть периода, в течение которого ток и мгновенная мощность положительны:

Г/4  Т/4

^Wm= f PL^dt=f u_Li_Ldt. о 0

После подстановки мгновенного значения напряжения на индук­тивном элементеu_L= Ldi_L/dtи соответствующей замены перемен­ных получим

hm

W_u = f Li_Ldi_L— LI\_m/ 2.                        (2.51)

0

В течение следующей четверти периода мгновенная мощность р_ь отрицательна, т.е. индуктивный элемент не получает энергию от ис­точника, а наоборот, источник получает энергию от индуктивного элемента. ^ ^т

Среднее значение мощности за периодP_L= —J p_Ldtдля индук-

о

тивного элемента равно нулю. Синусоидальный ток в индуктивном элементе не совершает работы. Поэтому в отличие от резистивного элемента энергетический режим индуктивного элемента принято

определять не активной, ареактивной индуктивной мощностью, рав­ной максимальному положительному значению мгновенной мощ­ности:

Q_l= U_LI_L= X_L1\ =Ul/X_L= B_LUl = II/B_L.(2.52)

Хотя единицы активной и реактивной индуктивной мощностей совпадают (В • А), для измерения реактивной индуктивной мощнос­ти выбрана своя единица: вольт-ампер реактивный (вар).

Емкостный элемент. В емкостном элементе С (рис. 2.29, в) на­пряжение

и_с = ^ J i_cdt = U_Cm sin(urf -it/2) = -f/_Cm cosutf

отстает по фазе от токаi_c= I_Cmsinutна угол тт/2. Мгновенная мощ­ность емкостного элемента

Рс — ^ис^с —~U_Cml_Cm sinutfcosutf = —UcnJcm_s'_m2ujt= —U_CI_Csin2wt.

z

В емкостном элементе, так же как и в индуктивном, мгновенная мощность — синусоидальная величина, частота которой вдвое боль­ше частоты тока. Но в емкостном элементе мгновенная мощность положительна в те интервалы времени, в течение которых напряже­ние возрастает по абсолютному значению. В течение этих интерва­лов времени происходит зарядка емкостного элемента и в его элек­трическом поле накапливается энергия. При уменьшении по абсо­лютному значению напряжения на емкостном элементе мгновенная мощность отрицательна. Емкостный элемент разряжается и энер­гия, запасенная в его электрическом поле, возвращается источнику.

К концу первой четверти периода энергия электрического поля

Т/4  Т/4

= J p_cdt= J u_ci_cdtдостигает максимального значения, о о

После подстановки мгновенного значения тока в емкостном эле­ментеi_c= Cdu_c/dtи соответствующей замены переменных полу­чим

о

W₉= f Cu_cdu_c= СЩ_т / 2.                      (2.53)

-U_Crn

В емкостном элементе, так же как и в индуктивном, синусоидаль­ный ток не совершает работы.

Энергетический режим емкостного элемента принято определять реактивной емкостной мощностью, равной максимальному отрица­тельному значению мгновенной мощности:

Qc = -U_CI_C= -X_cI²c=-lb / Be=-Ul/X_c= -В_СЩ. (2.54)

Если индуктивный и емкостный элементы соединены последо­вательно, т.е.i_L — г_с— г, то, как видно из сопоставления рис. 2.29, б и в, в моменты времени, когда энергия магнитного поля индуктив­ного элемента увеличивается, энергия электрического поля емкост­ного элемента уменьшается, и наоборот. Следовательно, эти элемен­ты могут обмениваться энергией не только с источниками, но и друг с другом.

2.14. Активная, реактивная, комплексная и полная мощности пассивного двухполюсника

Разнообразие физических явлений в элементах цепей синусои­дального тока усложняет задачу формализации методов анализа энергетических процессов. Определим мгновенную мощность пас­сивного двухполюсника, который подключен к источнику ЭДС, так что его мгновенная мощность равна мгновенной мощности источ­ника (рис. 2.30, а) при напряжении и токе:

и = U_msm(wt + г|;_и); г = I_msin(iot + я^).

Мгновенная мощность

р = иг =UmIm sin(uj£ + o|;_u)sin(uj£ + =

= ^[совСф, - ф,-) + cos(2Urf + ф. + *[>,.)]■ (2.55а)

Мгновенные значения тока, напряжения и мощности при индук­тивном (X > 0, ф = - > 0) и емкостном (X < 0, ф = г^ — я|)_г- < 0) характере комплексного сопротивления двухполюсника показаны на рис. 2.30, б ив соответственно.

Энергетический процесс в обоих случаях складывается из уже рас­смотренных выше (см. 2.13) энергетических процессов для идеаль­ных элементов. Часть электрической энергии источника поступает в двухполюсник и преобразуется в другие формы энергии. Другой частью энергии источник и двухполюсник периодически обменива­ются.

Из (2.55а) следует, что средняя мощность пассивного двухполюс­ника за период (равная средней мощности источника)

т

Р = ±fpdt = ^со₈(ф_и -ч|)<) = UIcosip, (2.556) о

так как среднее значение за период косинусоиды двойной частоты равно нулю.

Рис. 2.30

 

Угол сдвига фаз между напряжением и током ф = г|;_и — зависит от параметровRи ^элементов эквивалентной схемы замещения пас­сивного двухполюсника (см. рис. 2.27).

Выражение (2.55) определяет активную мощность двухполюсни­ка и источника, которая зависит от действующих значений напря­жения и тока, а также от совф — коэффициента мощности. Отме­тим, что активная мощность пассивного двухполюсника всегда по­ложительна и не зависит от знака угла ф (напомним, что |ф| ^ тг/2). Она определяет энергетический режим пассивного двухполюсника в целом, т.е. среднюю скорость необратимого преобразования энер­гии во всех резистивных элементах пассивного двухполюсника.

Активную мощность двухполюсника можно измерить ваттмет­ром (рис. 2.30, г). У ваттметра две измерительные цепи, одна из ко­торых включается последовательно с двухполюсником, т. е. ток в этой цени равен току г двухполюсника, а вторая — параллельно с двухпо­люсником (на его выводы), т.е. напряжение на этой цепи равно на­пряжению и двухполюсника. Чтобы учесть знак угла сдвига фаз ф между напряжением и током двухполюсника, измерительные цепи должны быть включены аналогично относительно положительных направлений тока и напряжения, поэтому один из выводов каждой измерительной цепи имеет отличительное обозначение (звездочка на рис. 2.30, г).

Из треугольников сопротивлений (рис. 2.26) и напряжений (рис. 2.28) пассивного двухполюсника следует, что коэффициент мощности

cos ф =R/Z = UJU.

После замены cos ф в (2.556) получим другие выражения для ак­тивной мощности пассивного двухполюсника:

р = uj =RI².                              (2.56)

Произведение действующих значений напряжения между выво­дами источникаU = Е и тока источника I в (2.55а) определяет так называемую полную мощность источника, равную полной мощнос­ти пассивного двухполюсника:

S= UI= EI= ZI².                           (2.57)

Размерности активной мощности и полной мощности совпада­ют, но для измерения полной мощности выбрана своя единица: вольт-ампер (В А).

Полная мощность определяет эксплуатационные возможности многих электротехнических устройств (генераторов, трансформато­ров, электрических машин и др.), для которых она указывается в качестве номинальной:S_HOM= U_HOMI_HOM.Например, для генератора электрической энергии номинальная полная мощность равна его максимальной активной мощности, которая может быть получена при СОБф = 1.

Процесс обмена энергией между источником энергии и совокуп­ностью индуктивных и емкостных элементов пассивного двухполюс­ника отображается его реактивной мощностью, равной реактивной мощности источника:

Q = Elsin^p = {Т/втф = UIsm(^fi\)_u—

Из треугольников сопротивлений пассивного двухполюсника (см. рис. 2.26) следует, что втф =X/Z_yт.е. с учетом (2.47) реактивная мощность пассивного двухполюсника

Q = UI sin<p = XI².                      (2.58)

При индуктивном характере входного сопротивления двухполюс­ника (ф > 0) реактивная мощность положительная, а при емкост­ном характере (ф < 0) отрицательная.

Сравнивая формулы (2.56) — (2.58), нетрудно установить связь активной, реактивной и полной мощностей пассивного двухполюс­ника:

s² - и²1² = (С//со8ф)² + (£//8Шф)² = Р² +Q². (2.59)

Соотношение (2.59) удобно интерпретировать геометрически на комплексной плоскости. Для этого умножим все стороны треуголь­ников сопротивлений (см. рис. 2.26) пассивного двухполюсника на I². Вновь полученные треугольники называются треугольниками мощностей (рис. 2.31, а,б). Из подобия треугольников сопротивле­ний и мощностей следует, что

Q/P = X/R =tg<p.

 

Рис. 2.31

Стороны треугольника мощностей связаны между собой зависи­мостью

S=P + jQ= UI cosy+ jKTsincp =UIe" = UP.(2.60)

ЗдесьS — комплексная мощность или комплекс полной мощности пассивного двухполюсника; /* — комплексное сопряженное значе­ние тока /. Модуль комплексной мощности равен полной мощности пассивного двухполюсника:

\s\ = S=UI.

2.15. Электрическая цепь с параллельным соединением ветвей

На рис. 2.32 представлена схема замещения цепи с параллельным соединением источника ЭДС Ё = U = Uрезистивного, индук­тивного и емкостного элементов, комплексные проводимости кото­рых соответственно равныG= 1 /Д,—jB_L= 1/juLw jB_c= jcoC.

По первому закону Кирхгофа определим комплексное значение общего тока, равного току источника ЭДС:

i = i_R + i_L+i_c=(G-jB_L+jb_c)u=yu, (2.6i >

где учтено, что по закону Омаi_R = GU> i_L= —jBJJ, i_c= jB_c U — комплексы токов в резистивном, индуктивном и емкостном элементах;

= G - j(B_L- В_с) (2.62) — комплексная проводимость цепи.  Рис. 2.32

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 352; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!