КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 6 страница

Источники ЭДС и тока называются активными элементами, а резистивные, индуктивные и емкостные элементы — пассивными эле­ментами схем замещения.

2.6. Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных величин

В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС токи также синусоидальны:

г = /_msin(u>£ +

где и — угловая частота; — начальная фаза; 1_т — максимальное значение (<амплитуда) тока.

Средним значением синусоидальной величины считают ее сред­нее значение за положительный полупериод, совпадающее со сред­ним значением по модулю. Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю:

Т/2     Т/2

/_ср = !fidt = j; f I_m sinutdt =                              (2.16)

0 0

Среднее значение тока измеряется приборами магнитоэлектри­ческой системы, измерительная цепь которых содержит выпрями­тель тока.

Синусоидальный ток в резистивном элементе с сопротивлением Rвызывает нагрев этого элемента из-за выделения тепловой энер­гии. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно получить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называ­ется действующим значением соответствующего синусоидального тока.

При синусоидальном токе за один период Т в резистивном эле­менте с сопротивлениемRвыделяется тепловая энергия

т

W_T=J Ri²dt,

о

где г — мгновенное значение синусоидального тока.

По определению действующего значения синусоидального тока такое же количество тепловой энергии в том же резистивном эле-

менте должно выделяться при постоян­ном токе за тот же интервал времени Т:

Рис. 2.8

W_T= RI²T.

Следовательно,

RI²T =J Ri²dt,

откуда находим действующее значение синусоидального тока:

'-it!**-

Таким образом, действующее значение синусоидального тока оп­ределяется как среднее квадратичное за период. На рис. 2.8 показа­ны синусоидальный ток г, изменение во времени квадрата тока г² и графическое определение значения /² (из равенства площадей I²T =Jfidt),а тем самым и действующего значения I.

Для синусоидального тока нетрудно определить действующее зна­чение через амплитудное:

sin²uotdt

и так какJdt = Т,a Jcos2u)tdt = 0, то

' = WV2.                             (2.18)

Действующее значение выбрано в качестве основной характери­стики синусоидального тока, потому что в большом числе случаев его действие пропорционально квадрату этого значения, например тепловое действие, взаимодействие прямого и обратного проводов двухпроводной линии и т.д.

(2.19а) (2.196)

Аналогично для любой другой синусоидальной величины а = A_msm(wt+ (ЭДС, напряжение, магнитный поток и т.д.) сред­нее значение

Л_ср - 2Л_т/тг и 0,637Л_т; действующее значение

(2.17)

А = А_пь/Л « 0,707^,.

2.7. Различные способы представления синусоидальных величин

Известно несколько способов представления синусоидально из­меняющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений во времени, в виде вращающихся векторов и, наконец, в виде комплексных чисел.

В 2.5 и 2.6 уже применялись представления синусоидально изме­няющихся величин в виде тригонометрических функций, например (2.14), (2.15), и в виде графика изменений во времени (см. рис. 2.6).

Теперь рассмотрим представление синусоидально изменяющих­ся величин в виде вращающихся векторов и комплексных чисел.

Представление синусоидальных величин вращающимися векто­рами. Для представления синусоидально изменяющейся величины

а = A_msm(wt + -ф)

с начальной фазой ф> вращающимся вектором построим (рис. 2.9, а) радиус-вектор А_т этой величины длиной (в масштабе построения), равной амплитуде А_т1 и под углом -ф к горизонтальной оси. Это бу­дет его исходное положение в момент начала отсчета времениt = 0.

Если радиус-вектор вращать с постоянной угловой скоростью и против направления движения часовой стрелки, то его проекция на вертикальную ось будет равнаA_msm(wt+ о|;). По значениям этих величин можно построить график зависимости синусоидальной ве­личины от фазы и)tили от времениt.Такое построение приведено для некоторых значенийtна рис. 2.9, б.

Применение вращающихся векторов позволяет компактно пред­ставить на одном рисунке совокупность различных синусоидально изменяющихся величин одинаковой частоты.

а

Представление синусоидальных величин комплексными числа­ми. От представления синусоидальных величин вращающимися ра­диусами-векторами нетрудно перейти к представлению синусоидаль­ных величин комплексными числами.

АА "J / / \ / /	a i m " \a iVVzL __				.Amsm(ut2+^)=Am
\ \ \ / V^/ / 0 ti t2^з tД Wkxi^teуУЧг —--------------------------------------------------------------- \- \y /Ат \						t6Ut7 t

 

б

Для того чтобы представить синусои­дальную величину

а = A_msm(ut+ -ф) (2.20)

с начальной фазой г|; комплексным чис­лом, проведем на комплексной плоскости (рис. 2.10) из начала координат под углом ф> к оси действительных величин и чисел вектор, длина которого в масштабе пост­роения равна амплитуде А_т синусоидаль­ной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой со­ответствует определенное комплексное число — комплексная амп­литуда синусоидальной величины:

А_т = А_те* =A_mZ^.

Так же обозначается и соответствующий комплексной амплиту­де вектор на комплексной плоскости.

При увеличении во времени фазы + 'ф синусоидальной вели­чины угол между вектором и осью действительных величин растет, т.е. получается вращающийся вектор

/М + <Ф) ₌A_mcos(ut + ф) + jA_msin((jjt + ф>).

Нетрудно видеть, что мнимая часть вращающегося вектора рав­на заданной синусоидальной величине (2.20).

По существу представление синусоидальной величины комплек­сной амплитудой А_т и соответствующим ей вектором на комплекс­ной плоскости геометрически подобно представлению той же сину­соидальной величины вращающимся радиусом-вектором А_т в мо­мент времениt = 0 (см. рис. 2.9, а). Поэтому может создаться впе­чатление, что оба представления синусоидальных величин практи­чески совпадают. В действительности это не так. В случае представ­ления синусоидальных величин комплексными числами можно при­менить весьма эффективный комплексный метод анализа электри­ческих цепей синусоидального тока, который в настоящее время за­воевал всеобщее признание.

Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной вели­чины, и соответствующее комплексное число называются комплекс­ным действующим значением синусоидальной величины:

А = A_m/yf2 = Ае& = AZil).                                  (2.21)

Так же обозначается и сам вектор на комплексной плоскости (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Применяются три формы записи комплексного значения сину­соидальной величины:

показательная форма

А = Ае&=AZ<ф;                          (2.22)

тригонометрическая форма

А =A cos <ф +jA sin i|;                      (2.23)

и алгебраическая форма

А = Rei + j Im Д                             (2.24)

где Re А = A cos -ф и Im А = A sin г); — действительная и мнимая со­ставляющие комплексного значения синусоидальной величины;

А = д/fRei)² +(lmi)²; 'Ф =

Переход от показательной формы к тригонометрической выпол­нен с помощью формулы Эйлера:

=cos г|> ± j sin -ф.                    (2.25)

При значениях угла ^/ф = 'к/2иг() = —тг/2из формулы Эйлера сле­дуют два часто встречающихся соотношения

_ew2_{= j И e}-w2 _{= =} ^                                                       (2.26)

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным об­разом комплексные действующие значения синусоидальных вели­чин; сокращенно их называют комплексными значениями, а соответ­ствующие векторы на комплексной плоскости — векторами комп­лексных значений. Например, синусоидальному току

г = /_msin(u)£ + oh) = 10sin(<jj£ + 45°) соответствует комплексное значение тока

/ = ie**i = ^j=e^j45° = 7,07 Z 45°.

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользу­ясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствую­щих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на век­торной диаграмме не изменится, если начальные фазы г|; всех комп­лексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величи­ну. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму стро­ят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исход­ным вектором.

_____  Направления синусоидальных величин (ток,

J*—р       напряжение и др.) в цепи периодически изменя­

ются, но одно из двух направлений принимается Рис. 2.11 положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме со­ответствующего участка цепи. При выбранном положительном на­правлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением а = ^4_msin(u)t + ф) и соответствующим комплексным зна­чением А = AZty [см. (2.21)]. Следовательно, взаимно однознач­ному представлению синусоидальных токов, напряжений и других величин в виде мгновенных и комплексных значений соответству­ют их одинаковые положительные направления (рис. 2.11).

2.8. Закон Ома в комплексной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Зависимости между токами и напряжениями резистивных, ин­дуктивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физичес­ких явлений для каждого из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин.

Резистивный элемент. Если ток в резистивном элементе синусо­идальный

Ч = i_Rmsm(ut + г^),

то по закону Ома (1.1) напряжение, приложенное к элементу (рис. 2.12), равно

% = Rk = ATjHmSmM + 'ФО = U_Rmsm(ut +

где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

U_Rm= RI_Rm,                              (2.27а)

а их начальные фазы одинаковые:

^ = -Ф*                                (2.276)

т.е. ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфаз- но — совпадают по фазе, как показано на рис. 2.12 для начальной фазы *ф_и = _{> 0.

Разделив правую и левую части выражения (2.27а) на >/2, полу­чим соотношение для действующих значений напряжения и тока ре­зистивного элемента:

U_R= RI_r.                                  (2.28)

Представим теперь синусоидальные ток и напряжение резистив­ного элемента соответствующими комплексными значениями (2.22):

Рис. 2.12

 

1_Н = /_яеЛ и U_R= U_Re*b.

Учитывая (2.28) и (2.276), получим закон Ома в комплексной форме для резистивного элемента:

Ur = Ш_л.                                 (2.29)

Соотношение между комплексными значениями тока и напря­жения для резистивного элемента наглядно иллюстрируется вектор­ной диаграммой (рис. 2.13). Из векторной диаграммы также видно, что векторы комплексных значений тока и напряжения резистив­ного элемента совпадают по фазе.

Индуктивный элемент. Если в индуктивном элементе ток сину­соидальный:

Ч = ^mSinM + 'Фг)»

то по закону электромагнитной индукции (2.3) напряжение на ин­дуктивном элементе равно

u_L= —e_L= Ldi_b/dt = wLI_Lmcos(wt + = = U_Lmsm(ut+ я^ + тг/2) =U_Lmsm(^t +i|>J, где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением

U_Lm= uLI_bm, (2.30а) а их начальные фазы — соотношением

ik = -Ф,- + -к/2.                          (2.306)

Разделив правую и левую части выражения (2.30а) на >/2, полу­чим соотношение для действующих значений напряжения и тока ин­дуктивного элемента:

U_b= ыЫ_ь = X_LI_L.                             (2.31)

Рис. 2.13

На рис. 2.14 показан график мгновенных значений синусоидаль­ных тока и напряжения индуктивного элемента (построен при

> 0), из которого видно, что синусоидальный токi_Lотстает по фазе от синусоидального напряжения и_ь на угол ср = — 1^=^/2.

ВеличинаX_L= ujLв выражении (2.31), единица которой Ом, на­зывается индуктивным сопротивлением, а обратная величинаB_L= =I/ujL, единица которой Ом^-1 = См, — индуктивной проводимос­тью. Значения величинX_LиB_Lявляются параметрами индуктив­ных элементов цепей синусоидального тока.

Представим синусоидальные токi_Lи напряжениеu_Lиндуктив­ного элемента соответствующими комплексными значениями:

i_L=I_Le*иU_L= U_Le*

На рис. 2.15 приведена векторная диаграмма для индуктивного элемента. На векторной диаграмме показано, что вектор комп­лексного значения токаI_Lотстает по фазе от вектора комплексного значения напряженияU_Lна угол тт/2. Пользуясь выражениями (2.31) и (2.26), получим закон Ома в комплексной форме для индуктивно­го элемента:

U_L=             =

или

U_L= jubi_L= jX_Li_L.                               (2.32)

Входящая в это выражение величинаjwL = jX_Lназывается ком­плексным сопротивлением индуктивного элемента, а обратная ей ве­личина1/juL = —jB_L— комплексной проводимостью индуктивного элемента.

Комплексное значение напряжения на индуктивном элементе можно выразить и через комплексное значение потокосцепления.

Из (2.1) следует, что Ф = Ы_ь, и по (2.32)

ul= -еь = jw Ф.                            (2.33)

 

Рис. 2.14                                                     Рис. 2.15

Это — математическая формулировка закона электромагнитной ин­дукции (2.3) в комплексной форме.

Иногда на векторной диаграмме, например при анализе транс­форматоров, изображают также вектор Ё_ь, который направлен в сто­рону, противоположную U_L, как следует из (2.33), и равен ему по абсолютному значению.

Емкостный элемент. Если напряжение между выводами емкост­ного элемента изменяется синусоидально:

V>c = f/cmSin(u)£ + <фи),

то по (2.11) синусоидальный ток

г_с = Cdu_c/dt =wCU_Cmcos(wt + я|;_и) = = J_Cmsin(w£ + o|>_tt+тг/2) =I_Cmsm(ut + где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением

I Cm — uCU_Cm,                         (2.34а)

а их начальные фазы — соотношением

^ =                                            (2.346)

Разделив правую и левые части выражения (2.34а) на V2, полу­чим соотношение для действующих значений напряжения и тока ем­костного элемента:

^ис=-^С¹с=*с/^вс-                                     (2.35)

Величина В_с = ооСв выражении (2.35), единица которой Ом^-1 = = См, называется емкостной проводимостью, а обратная величина Х_с=1 /и)С_У единица которой Ом, — емкостным сопротивлением. Зна­чения величин Х_с и В с являются параметрами емкостных элемен­тов цепей синусоидального тока.

В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидаль­ного тока. При постоянном напряжении сопротивление бесконечно велико.

На рис. 2.16 показан график мгновенных значений синусоидаль­ных напряжения и тока для емкостного элемента (построен при я|)_м> 0), из которого видно, что синусоидальное напряжение и_с от­стает по фазе от синусоидального тока г_с на угол г|;_г — -ф^ = —тт/2, т. е. сдвиг по фазе между напряжением и током ф = г|;_м — = — тг/2.

Представим синусоидальные ток г_с и напряжение и_с емкостного элемента соответствующими комплексными значениями:

L =         и й_п =

 

Рис. 2.16                                                      Рис. 2.17

На рис. 2.17 приведена векторная диаграмма для емкостного эле­мента и показано, что вектор комплексного значения напряженияU_c отстает по фазе от вектора комплексного значения тока 1_сш угол -к/2.

Учитывая (2.34) и (2.26), получаем закон Ома в комплексной фазе для емкостного элемента:

v^{с =}~jtc^{ic =}~^jXcic'                                    ⁽²'³⁶⁾

Величинаl/jwC= -jX_Clвходящая в это выражение, называется комплексным сопротивлением емкостного элемента, а обратная ей величина.; и>С — jB_c— комплексной проводимостью емкостного эле­мента.

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 357; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!