Корректность определения

Рассмотрим случай (при рассуждения аналогичны).

Существование. Пусть – некоторая строго возрастающая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к a (например, последовательность десятичных приближений числа a по недостатку), и q – некоторое рациональное число, большее a (например, ). Поскольку и , то по свойству степени с рациональным показателем (предложение 11) и при любом . Таким образом, последовательность строго возрастает и ограничена сверху, следовательно, имеет конечный предел. Обозначим .

Единственность. Пусть – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к a. Докажем, что . Поскольку по условию , то . Так как , то по доказанному выше предложению. Тогда по свойствам степени с рациональным показателем получаем:

Замечания. 1. Если r является рациональным числом, то для любой последовательности рациональных чисел, сходящейся к r (a > 0). Таким образом, значение предела совпадает с ранее введенным значением степени с рациональным показателем.

2. Если a < 0, то степень с иррациональным показателем a не определена. Например, рассмотрим выражение . Возьмем последовательность рациональных чисел, сходящуюся к . Зададим ее так, чтобы среди ее членов было бесконечно много несократимых дробей r= каждого из следующих видов: 1) k – нечетно, m – нечетно, тогда ; 2) k – четно, m – нечетно, тогда ; 3) k – четно, m – четно, тогда значение не определено. Очевидно, последовательность не имеет предела, следовательно, значение не определено.

3. При определении степени а ^a положительного числа а с иррациональным показателем a можно рассматривать класс только возрастающих (убывающих) последовательностей рациональных чисел, сходящихся к a.

4. Существуют и другие подходы к определению степени а ^a (a > 0, aÎI). В основе этих подходов лежат следующие понятия.

2) Предел по множеству: .