Свойства степени с рациональным показателем
1.
2.
4.
5.
Доказательство. Для целых степеней эти свойства были доказаны ранее. Рассмотрим остальные случаи. Будем пользоваться доказанными ранее свойствами степеней. Пусть .
2. .
3.
4. .
5. .
Замечание. При отрицательных и равных нулю значениях a и b указанные свойства могут и не выполняться. Например, равенство является тождеством при любом . Но при а= -1 левая часть равна -1, а правая не существует.
Определение. Степенной функцией с рациональным показателем r называется функция, определенная формулой .
§ 12. Степенная функция
с положительным рациональным показателем
Из определения степени с рациональным показателем следует, что функция , является композицией функций и , взятых в произвольном порядке. Поэтому свойства функции вытекают из свойств этих функций и свойств композиции функций. Отдельно рассмотрим случаи и .
Свойства функции , где , r > 0.
Пусть , (п, т)=1.
1. Область определения. Для функций и области определения соответственно равны
и .
Следовательно,
2. Непрерывность. Функция непрерывна на своей области определения как композиция непрерывных функций.
3. Четность, нечетность. Для числа ,
(п, т)=1, рассмотрим следующие случаи.
1) п четно. Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения Df= не является симметричным относительно нуля множеством.
2) п нечетно, т четно. Поскольку в этом случае функция – четная, то функция также является четной.
|
|
3) п нечетно, т нечетно. Функция является нечетной как композиция нечетных функций.
4. Монотонность. В силу свойств четности, нечетности достаточно исследовать функцию на монотонность на множестве .
Предложение. Функция при строго возрастает на .
Доказательство. Функция строго возрастает на , и функция строго возрастает на при любых натуральных т и п. Следовательно, строго возрастает на .
5. Нули функции, промежутки знакопостоянства. Поскольку функции и обращаются в ноль лишь в точке х =0, то тогда и только тогда, когда х =0. Поскольку функция при строго возрастает на , то на . Выводы о знаке функции f на легко следуют из ее свойств четности, нечетности при различных п и т.
6. Неравенства, связанные со свойствами функции , .
Предложение. (1) Если , то на и на .
(2) Если , то на и на .
(3) Если , то на , и на .
Доказательство.
(1) Применяя свойства степенных функций с натуральным показателем и показателем , для функции , где , , получаем:
. Аналогично для х, удовлетворяющих неравенству , получаем .
(2) Если , то . По утверждению (1) на интервале выполняется неравенство . Умножая обе его части на х, получаем . Для интервала (0, 1) рассуждения аналогичны.
|
|
(3) Доказывается аналогично.
7. График функции , где , (п, т)=1.
|
§ 13. Степенная функция
с отрицательным рациональным показателем
Свойства функции , , r < 0.
Степенная функция с отрицательным рациональным показателем представима в виде , где и . Очевидно, ее свойства являются следствиями свойств степенной функции с положительным рациональным показателем.
Пусть , (п, т)=1.
1. Область определения.
2. Непрерывность. Функция непрерывна на своей области определения как частное непрерывных функций.
3. Четность, нечетность.
1) п четно. Функция f не является ни четной, ни нечетной.
2) п нечетно, т четно. Функция f является четной.
3) п нечетно, т нечетно. Функция f является нечетной.
4. Монотонность. Функция f строго убывает на . Выводы о монотонности функции f на следуют из ее свойств четности, нечетности при различных п и т.
5. Нули функции, промежутки знакопостоянства. Очевидно, функция f не имеет нулей, на . Выводы о знаке функции f на легко следуют из ее свойств четности, нечетности при различных п и т.
6. График функции , где , (п, т)=1.
|
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!