Множество значений.
Предложение.
Доказательство. Пусть п четно. Поскольку все значения функции положительны, то остается доказать, что любое число является значением функции f. Пусть
– произвольное действительное число. Выше доказано (см. §7, п. 8), что множеством значений функции
является
. Следовательно, существует точка
, для которой
. Тогда
, т. е.
. Следовательно,
.
При нечетном п рассуждения аналогичны.
Ограниченность.
Так как множество значений функции (
) является неограниченным сверху числовым множеством, то функция f неограниченна сверху при любом п, и, следовательно, неограниченна. Кроме того,
, если п четно, – ограниченное снизу множество и
, если п нечетно, – неограниченное снизу множество. Следовательно, функция f ограниченна снизу при четном п и неограниченна снизу при нечетном п.
9. График функции. ,
.
|
![](https://konspekta.net/studopedianet/baza21/188429275282.files/image628.gif)
При п =1 получаемфункцию , которая называется обратной пропорциональностью. Графиком этой функции является гипербола.
§ 9. Степенная функцияс показателем (
, n > 1)
Рассмотрим степенную функцию с натуральным показателем. п > 1.
1. Пусть п нечетно. В этом случае функция строго возрастает на R, следовательно, обратима.
2. Пусть п четно. В этом случае функция не обратима. Рассмотрим ее сужение на множество
. Функция
на множестве
строго возрастает, следовательно, ее сужение на это множество является обратимой функцией.
Определение. Степенной функцией с показателем (
, n > 1) называется обратная функция для степенной функции
, если п нечетно, и обратная функция для сужения функции
на множество
, если п четно.
|
|
Свойства функции (
)
Свойства степенной функции с показателем являются следствиями свойств степенной функции
. В доказательствах мы не будем исключать случай п =1.
1. Область определения. При нечетном п областью определения функции является множество значений функции
. При четном п ее областью определения является образ множества
при отображении
. Таким образом,
2. Множество значений.
По определению обратной функции множеством значений функции является область определения функции
.
Ограниченность.
Так как множество значений функции является неограниченным сверху числовым множеством, то функция f неограниченна сверху при любом п, и, следовательно, неограниченна. Кроме того,
, если п четно, – ограниченное снизу множество и
, если п нечетно, – неограниченное снизу множество. Следовательно, функция f ограниченна снизу при четном п и неограниченна снизу при нечетном п.
4. Непрерывность. Функции при любом натуральном п непрерывна на своей области определения как обратная для непрерывной функции.
|
|
5. Четность, нечетность.
Предложение 8. Функция является нечетной при нечетном п и не является ни четной, ни нечетной при четном п.
Доказательство. Пусть п нечетно. В этом случае область определения функции – симметричное относительно нуля множество. Проверим выполнимость равенства
. Пусть
– произвольная точка и
– значение функции в этой точке. Тогда
. Так как степенная функция с натуральным нечетным показателем п нечетна и всюду определена, то
. Отсюда получаем
и в результате имеем:
. Следовательно, функция
является нечетной при нечетном п.
Если п четно, то функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения Df=
не является симметричным относительно нуля множеством.
6. Монотонность. Функция при любом натуральном п является обратной для строго возрастающей функции, следовательно, строго возрастает на своей области определения.
7. Неравенства, связанные со свойствами функции .
Предложение. (1) на
и
на
при любом
.
(2) Если , то
на
и
на
при любых
.
(3) Если , то
на
и
на
.
Доказательство. (1).Поскольку функция строго возрастает на
, то неравенство x > 1 влечет
. Аналогично, из неравенства
следует
.
(2). Пусть . Предположим
на
. Возведя обе части этого неравенства в степень пт, получаем
– противоречие со свойствами степенной функции с натуральным показателем.
|
|
(3). Для доказательства достаточно положить т= 1в утверждении (2).
8. График функции. При построении пользуемся тем, что графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой .
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!