Свойства степени с натуральным показателем
Доказательство этих свойств следует непосредственно из определения степени с натуральным показателем.
Определение. Степенной функцией с натуральным показателем называется функция, определенная формулой (, n > 1).
Замечание. Функцию является линейной, ее не относят к степенным. Однако в доказательствах мы не будем исключать этот случай.
Свойства функции ,
1.Область определения. , поскольку операция возведения в натуральную степень определена для любого действительного числа.
2.Нули функции, промежутки знакопостоянства. Очевидно, . Если n четно, то для любого . Если n нечетно, то для всех и для всех
3.Непрерывность. Функция непрерывна на Rкак произведение n экземпляров функции , непрерывность которой в любой точке числовой прямой легко устанавливается непосредственно по определению.
4.Четность, нечетность.
Предложение. Функция , является четной, если n четно, и нечетной, если n нечетно.
Доказательство. – симметричное относительно нуля множество.
Пусть , .
Тогда для любого . Следовательно, – четная функция при четном п.
Пусть , .
Тогда для любого . Следовательно, – нечетная функция при
нечетном п.
5.Монотонность.
Предложение. Функция ()
1) при нечетном п строго возрастает на R,
2) при четном п строго убывает на и строго возрастает
на .
Доказательство. Опираясь на свойства четности, нечетности при различных п, достаточно доказать, что функция на строго возрастает.
|
|
Возьмем произвольные . Поскольку для неотрицательных чисел по свойству числовых неравенств из следует , то f строго возрастает на .
6.Поведение функции в бесконечно удаленных точках.
Предложение. (1) ,
(2)
Доказательство. Докажем равенство (1). По определению:
.
При п = 1 доказательство очевидно. Пусть . Для произвольного возьмем . Тогда для любого числа будет выполнено: . Умножив это неравенство на себя п -1 раз, получим: (*). Из неравенств следует (**). Перемножим неравенства (*) и (**), тогда . Проведенные рассуждения означают, что . Равенство (2) следует из свойств четности, нечетности f.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!