Множество значений.
Предложение.
Доказательство. 1.Пусть п четно. Тогда ,
для всех
и, так как функция f при четном п является четной, то
для всех
.
Осталось доказать, что любое число является значением функции f. Пусть
– произвольное действительное число. Поскольку
(см. п. 6), то существует такая точка а > 0 на числовой прямой, что
. Из непрерывности функции f на R следует ее непрерывность на отрезке
. Так как
и
, то по теореме Вейерштрасса о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции заключаем, что число r является значением функции f в некоторой точке отрезка
.
Таким образом, доказали, что , если п четно.
2. Пусть п нечетно и r – произвольное действительное число. Так как и
, то существуют точки х 1 и х 2 (х 1 < х 2), для которых
. Из непрерывности функции на R следует, что она непрерывна на отрезке
. По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции заключаем, что число r является значением функции в некоторой точке отрезка
, т. е.
. Следовательно,
.
Ограниченность.
Так как множество значений функции (
) является неограниченным сверху числовым множеством, то функция f неограниченна сверху при любом п, и, следовательно, неограниченна. Кроме того,
, если п четно, – ограниченное снизу множество и
, если п нечетно, – неограниченное снизу множество. Таким образом, функция f ограничена снизу при четном п и не ограничена снизу при нечетном п.
|
|
10. График функции. Из доказанных в п. 7 неравенств следует, что при график функции
на интервале
расположен выше графика функции
и ниже на интервале
.
График степенной функции при п= 2 называется параболой, при п= 3 – кубической параболой.
![]() | |||
![]() |
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 18; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!