Свойства степенной функции с рациональным показателем, связанные с неравенствами
Предложение 1. Если , то на и на для любых рациональных r и q.
Доказательство. Если , то . По свойству степенной функции с положительным рациональным показателем (предложение 10, (1)) на интервале выполняется неравенство . Умножая обе его части на хq, получаем . Для интервала рассуждения аналогичны.
Предложение 2. Функция , , на принимает только положительные значения.
Доказательство следует из свойств функции при r > 0 и
r < 0, рассмотренных в п. 5 § 12 и п. 5 §13.
§ 15. Определение степени действительного числа
с иррациональным показателем
Прежде чем дать определение степени действительного числа с произвольным действительным показателем и обосновать его корректность, проведем некоторые вспомогательные рассуждения.
Неравенство Бернулли: для любых действительного и натурального п.
Доказательство. Применим метод математической индукции. При п = 1 неравенство очевидно выполняется. Предположим, что оно выполняется при п и осуществим индуктивный переход:
.
На основании ММИ заключаем, что неравенство справедливо при любом натуральном п.
Лемма. при любом действительном .
Доказательство. Требуется доказать:
.
Рассмотрим случай .
Обозначим . По неравенству Бернулли получаем: для любого . Отсюда
(*).
Для произвольного рассмотрим неравенство .
Возьмем натуральное число N, удовлетворяющее неравенству (такое N существует, так как множество натуральных чисел неограниченно сверху). Тогда для всех натуральных будет выполнено , отсюда , и в силу неравенства (*) имеем: . Следовательно, .
|
|
Рассмотрим случай . Тогда . По доказанному выше . Используя свойства степеней, имеем:
Предложение. при любом действительном .
Доказательство. При а = 1 утверждение очевидно.
Рассмотрим случай . Требуется доказать:
.
Возьмем произвольное . Поскольку по лемме 13 и ,то все члены последовательностей и с номерами, большими некоторого , принадлежат интервалу . Пусть . Возьмем произвольное рациональное r, удовлетворяющее неравенству . Очевидно, , поэтому найдется такое натуральное п, для которого будет выполнено: . Тогда по свойству степенной функции с рациональным показателем (предложение 1, § 14) имеем: и . Поскольку п -ый и (п+ 1)-ый члены последовательностей и при принадлежат интервалу , то , т. е. . Следовательно, .
Рассмотрим случай . Тогда и по доказанному выше. Используя свойства степеней, имеем:
.
Определение. Степенью действительного числа с иррациональным показателем a называется число , где – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к a.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 27; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!