Нули функции, промежутки знакопостоянства.
Предложение. Функция ,
, принимает только положительные значения.
Доказательство. Пусть х – произвольная точка числовой прямой. Возьмем рациональное число , например,
. По свойству степенной функции с рациональным показателем
для любого
(§14, предложение 1). Так как функция
,
, строго возрастает, то
. Предложение доказано.
Непрерывность.
Лемма. Функция ,
, непрерывна в точке 0.
Доказательство. Пусть . По свойствам степени
. Пусть (хп) – произвольная числовая последовательность, сходящаяся к 0. Требуется доказать, что
. Учитывая свойство плотности множества рациональных чисел в R, образуем последовательность
рациональных чисел, для которой
("
). Поскольку
, то
. Из определения степени действительного числа следует, что
. Так как функция
при
строго возрастает на R и
, то
для любого
. По теореме о пределе промежуточной последовательности получаем
. Предложение доказано.
Предложение. Функция ,
, непрерывна на R.
Доказательство. Пусть х 0ÎR и (хп) – произвольная числовая последовательность, сходящаяся к х 0. Докажем, что . Поскольку
, то по лемме
. Тогда, используя свойства степени, получаем:
.
Теорема доказана.
5.Поведение функции в бесконечно удаленных точках.
Лемма. при
.
Доказательство. Так как , то
, где
. По неравенству Бернулли:
(*). Для произвольного
рассмотрим неравенство
. Возьмем натуральное
. Тогда для любого натурального
будет выполнено
и в силу неравенства (*)
. Это и означает, что
.
|
|
Предложение. Если , то
(1) и
(2).
Доказательство. Возьмем произвольное . Поскольку
, то существует такое N 0ÎN, что для всех натуральных
выполняется неравенство
. Пусть
. Очевидно,
и
. Тогда
. Возьмем произвольное
. Так как показательная функция с основанием
строго возрастает, то
, следовательно,
. Это и означает, что
.
Докажем равенство (2). Введем переменную . По доказанному выше, используя свойства степени, получаем:
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 16; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!