Построение двухмерной вариограммы
В двухмерном массиве данных приобретают значение два фактора: векторный характер вариограммы и анизотропия геологических объектов.
Поскольку векторная вариограмма симметричная относительно любого азимута, то она повторяется через 180о, поэтому вариограмму рассчитывают в пределах только от 0о до 180о. Вначале находят вариограмму, не учитывая азимут, полагая геологический объект изотропным. Это дает возможность оценить вероятный вид аппроксимирующей функции. Далее рассчитывают вариограмму по различным азимутам, например через 10о. В результате получается набор радиусов влияния R и эмпирических вариограмм по различным направлениям, значения радиусов по которым можно аппроксимировать уравнением эллипса или функцией такого вида:
(16)
где R min, R max - минимальный и максимальный радиусы влияния, a - азимут, y - начальная фаза (азимут, где радиус минимальный).
Рис.13. Схема расположения азимута a и угла схождения b, а также линий, параллельных азимуту, ограничивающие область расчетных пунктов измерений
|
При расчете эмпирической вариограммы задают минимальный шаг измерений, а также так называемый угол схождения (несколько градусов), в пределах которого учитываются пункты измерений. При большом расстоянии между пунктами измерений кроме угла схождения задают еще две ограничивающие линии, параллельные азимуту, чтобы не включать в расчет слишком удаленные от азимута пункты измерений (рис.13). Расстояние между ограничивающими линиями задают произвольно, например, 10 м.
|
|
|
В случае трехмерной модели, которую не будем изучать в данном предмете, для расчета эмпирической вариограммы также задают сферический угол схождения, а вместо параллельных линий – ограничивающий цилиндр. Для расчета вариограммы принимаются только такие пункты измерений, которые находятся внутри угла схождения и ограничивающего цилиндра.
Получив вариограмму для изотропного варианта, выбирают наилучший вид аппроксимирующей теоретической вариограммы, который в дальнейшем можно использовать для расчета вариограмм в анизотропной среде. Вариограммы по направлениям будут различаться только радиусом влияния, согласно формуле (16). Возможен вариант, когда вариограммы по различным направлениям будут различаться не только радиусом, но и видом теоретической вариограммы, что требует специального исследования.
Рис.14. План расположения скважин Качарского месторождения. Координаты условные в метрах
|
В двухмерных моделях, как правило, приходится учитывать еще два фактора: наличие пространственного тренда и неравномерность сети наблюдений по различным азимутам. При наличии тренда, нужно найти его уравнение, вычесть значения тренда из исходных данных, найти остаток от тренда, и по остатку вычислять вариограмму. При неравномерной сети наблюдений задают размер шага, например, 100м или 200м, и разбивают все расстояния на равные классы (от нуля до 100м от 100м до 200м и.т.д.). Все значения, попадающие в какой-либо класс, относят либо к середине класса, либо к среднему шагу из множества измерений в классе и используют для вычисления эмпирической вариограммы.
|
|
|
Рассмотрим пример построения двухмерной эмпирической вариограммы для рельефа поверхности Качарского месторождения. Рельеф в районе месторождения равнинный и тренд поверхности рельефа отсутствует. Для построения вариограммы использованы 578 скважин, у которых известны координаты устья (рис.14). Вначале построим изотропную вариограмму без учета направления. Для этого рассчитаны все расстояния между устьями скважинами, и расстояния сгруппированы в 20 классов размером 100м. В каждом классе определены число расстояний, среднее расстояние (средний шаг) и определено значение вариограммы.
Рис.
15. Вариограмма рельефа дневной поверхности
Качарского месторождения
|
Представляет интерес первая часть вариограммы до шага 900 м (рис.15). Первое пересечение эмпирической вариограммы (ломаная линия) с линией дисперсии дает радиус автокорреляции R =714м.
График эмпирической вариограммы имеет сложный вид. Какую функцию выбрать для ее аппроксимации – задача неоднозначная. В данном случае рассчитана кривая кубического полинома по нескольким характерным точкам эмпирической вариограммы. Получено следующее уравнение:
g(h) = 0.00000013097 h 2 + 0.00000000008533192 h 3 (27)
Его можно записать в более удобной форме, как принято в вычислительной математике, разделив мантиссу и характеристику:
g(h) = 1.30971е-06 + 8.533819е-09 (27а)
Здесь запись е-06 обозначает 10-6. Подобная запись позволяет выполнять расчеты с высокой степенью точности для очень больших и очень малых чисел.
Возможны и другие варианты аппроксимации. Так, подходит уравнение Де-Вийса, когда по оси абсцисс откладывают логарифмы шага h. Тогда эмпирическая вариограмма становится близка к прямой линии. Возможно использование составной вариограммы. Первую часть эмпирической вариограмм до шага 420 м можно аппроксимировать одной кривой, а вторую – до шага 716 м – другой кривой. Такая ситуация нередко встречается на практике.
|
|
|
Далее можно построить вариограммы по различным азимутам. Выполнены расчеты через каждые 30о, они все оказались однотипные, но с различными радиусами автокорреляции, что свидетельствует о наличии анизотропии в поведении рельефа местности. Для примера приведем вариограмму по азимуту 0о (рис.16). Радиус автокорреляции равен R = 798м.
 |
Рис.16.Эмпирическая (ломаная линия) и теоретическая
(плавная линия) вариограммы по азимуту 0о
Заметно сходство изотропной вариограмм на рис15 и 16, построенной по азимуту 0о. В обоих случаях в качестве аппроксимирующей функции выбран полином третьего порядка, имеющий горизонтальную касательную в начале координат. Для рисунка 16 он выражается уравнением:
g(h) = -8.79475-06 +7.16306е-09. (28)
По всем остальным азимутам получены аналогичные вариограммы, различающиеся только радиусом автокорреляции
Рассмотрим более сложный случай, когда в исходных данных имеется ярко выраженный тренд. Для примера возьмем абсолютные отметки кровли главного рудного тела апатитового месторождения Коашва. На рис.17 изображены координаты (абсолютные отметки) кровли главного рудного тела северной части апатитового месторождения Коашва. На этой части месторождения пробурено 62 глубокие скважины
Рис.17. Условные координаты кровли главного рудного тела месторождения Коашва
По абсолютным отметкам видно, что рудное тело круто погружается на северо-запад (к центру Хибинского массива), следовательно, имеется тренд, который нужно удалить перед вычислением вариограммы. Тренд рассчитывается по методу наименьших квадратов. Наилучшим оказался двухмерный тренд третьего порядка, содержит десять коэффициентов, и рассчитанный по всему рудному телу (рис.18):
z = 3.99241 – 0.709206x +0.516807у + 0.015217х2 – 0.0194171ху – 0.0131997у2 –
0.00034477х3 + 0.000189034х2у +0.000683519ху2 + 0.00000566641у3
(29)
Рис.18. Тренд абсолютных отметок кровли главного рудного
тела апатитового месторождения Коашва (Хибины). Координаты условные
При расчете тренда для повышения точности расчетов координаты х и у уменьшались в сто раз, иначе кубы координат изображались бы длинными рядами чисел. Для сравнения в таблице 8 приведено сопоставление фактической координаты z, тренда и остатка от тренда.
Таблица 8
Остаток от тренда отметок кровли рудного тела
| ---------------------------------------------------------- Скв Х У Z тренд остаток ---------------------------------------------------------- 467 2045.0 2017.1 -397.0 -367.2 29.8 468 2175.4 2304.2 -345.7 -272.5 73.2 476 749.0 1083.0 264.3 289.9 25.6 481 1152.0 2478.0 198.6 180.3 -18.3 482 1228.2 2448.1 164.7 160.0 -4.7 483 1288.3 2427.4 150.1 168.1 18.0 484 1362.1 2399.0 74.5 63.8 -10.7 490 1415.3 2636.8 109.7 114.2 4.5 493 1453.7 2751.6 112.6 114.2 1.6 494 1512.8 2725.0 63.5 51.1 -12.4 520 2256.8 2763.3 -340.5 -392.1 -51.6 521 1608.0 784.6 -429.3 -434.2 -4.9 522 2132.7 1068.4 -705.1 -665.3 39.8 523 1693.0 1233.9 -354.5 -326.6 27.9 524 1306.2 1474.5 -63.4 -63.3 0.1 765 1629.8 1091.7 -347.4 -324.8 22.6 766 1826.3 1036.4 -508.8 -494.6 14.2 767 1951.1 850.1 -692.5 -727.9 -35.4 768 1846.3 1277.6 -450.3 -419.0 31.3 769 2015.8 1145.8 -626.3 -615.2 11.1 770 2348.1 1214.6 -863.7 -847.9 15.8 771 1911.5 1494.5 -480.5 -485.1 -4.6 772 2090.2 1351.0 -642.8 -642.6 0.2 773 2282.6 1277.6 -839.9 -869.3 -29.4 774 2461.2 1352.9 -966.6 -998.2 -31.6 775 2165.4 1706.1 -581.2 -559.6 21.6 781 2312.6 2158.5 -629.7 -697.8 -68.1 783 1507.0 806.0 -369.7 -390.3 -20.6 784 1808.0 712.2 -593.4 -603.8 -10.4 788 1976.8 2850.4 -146.1 -180.5 -34.4 790 2309.9 2429.4 -485.0 -512.5 -27.5 793 2162.0 2838.2 -257.3 -306.7 -49.4 1330 1571.5 612.9 -424.9 -411.0 13.9 1331 1773.8 500.7 -591.1 -576.2 14.9 1332 2045.0 345.0 -813.2 -790.2 23.0 1553 1625.6 2892.6 66.1 67.1 1.0 1506 599.6 552.3 186.4 170.3 -16.1 1509 1700.4 305.0 -623.3 -646.9 -23.6 1510 1550.3 518.1 -467.9 -489.1 -21.2 1511 1151.3 648.9 -169.6 -194.4 -24.8 1512 763.7 732.8 152.3 163.5 11.2 1513 862.2 843.3 127.9 154.0 26.1 1514 775.3 873.0 171.0 172.2 1.2 1521 2213.0 813.2 -867.3 -867.9 -0.6 1522 1120.2 1383.2 60.2 76.3 16.1 1524 1254.5 1521.1 -11.5 -3.8 7.7 1525 1567.6 1505.6 -239.0 -244.0 -5.0 1526 1350.3 1607.8 -79.4 -93.1 -13.7 |
----------------------------------------------------------
Скв Х У Z тренд остаток
----------------------------------------------------------
363 928.7 665.9 29.8 49.7 19.9
366 582.2 988.2 322.0 308.0 -14.0
369 973.4 983.5 140.5 222.1 81.6
370 1966.1 2615.4 -115.9 -43.4 72.5
374 735.8 1224.9 318.2 357.4 39.2
379 959.5 1286.1 169.3 203.8 34.5
382 793.0 1510.4 283.9 274.0 -9.9
383 853.4 1486.1 249.1 250.9 1.8
385 1179.8 1489.7 34.7 44.5 9.8
387 1167.2 1795.6 72.3 52.9 -19.4
389 1032.0 1991.0 226.3 239.9 13.6
391 1082.0 2239.0 217.5 214.7 -2.8
392 1151.0 2212.0 171.2 168.0 -3.2
393 1214.8 2181.0 136.1 141.6 5.5
394 1174.6 2321.0 179.8 181.1 1.3
395 1387.9 2227.6 33.1 30.3 -2.8
396 1303.8 1732.1 -13.6 -17.3 -3.7
425 1018.2 1419.8 194.5 267.9 73.4
426 1190.1 2055.8 126.1 128.5 2.4
428 1364.2 1467.9 -109.7 -115.3 -5.6
429 1463.8 1647.5 -130.1 -127.2 2.9
432 1449.4 2183.2 -16.4 -22.8 -6.4
433 1655.3 2232.2 -135.8 -149.7 -13.9
434 637.0 965.0 295.7 300.7 5.0
438 1664.3 2967.7 86.3 103.6 17.3
439 1215.2 1913.2 97.0 111.8 14.8
440 1846.7 2837.7 -65.4 -77.0 -11.6
442 997.2 1586.5 155.7 144.4 -11.3
443 1068.8 1714.7 130.3 118.6 -11.7
444 1111.1 1825.3 145.9 158.1 12.2
446 1294.9 2142.8 83.4 91.7 8.3
447 1365.5 2103.5 -14.2 -52.8 -38.6
448 1312.5 2255.7 88.7 91.5 2.8
449 1236.5 1772.3 21.3 0.5 -20.8
450 935.1 1452.4 195.5 206.5 11.0
451 1305.4 1197.9 -132.0 -142.5 -10.5
452 1443.2 1103.7 -244.9 -252.6 -7.7
453 1540.7 1387.2 -225.6 -209.4 16.2
454 1608.1 1589.6 -276.5 -310.3 -33.8
455 1689.3 1918.8 -236.6 -253.4 -16.8
456 1721.1 2048.6 -231.5 -254.8 -23.3
457 1837.2 2322.1 -184.8 -163.4 21.4
458 1845.5 2025.3 -301.2 -308.8 -7.6
459 1994.8 2344.2 -219.7 -145.7 74.0
460 1737.9 1564.1 -344.8 -352.3 -7.5
1528 1147.1 1687.9 70.9 56.8 -14.1
466 1823.3 1834.7 -353.8 -378.7 -24.9
Окончание таблицы 8
| ------------------------------------------------------- Скв Х У Z тренд остаток -------------------------------------------------------- 1552 1707.0 2857.1 23.3 28.8 5.5 1554 1532.6 2917.9 119.5 125.6 6.1 1555 1927.5 2646.0 -91.7 -25.9 65.8 1557 1732.9 2495.9 -90.4 -83.1 7.3 1558 1432.0 3002.0 152.5 127.9 -24.6 1559 1893.6 2444.2 -142.5 -82.1 60.4 1560 1806.2 2627.3 -47.2 5.0 52.2 1563 1469.0 1558.1 -157.0 -158.3 -1.3 1565 1862.9 1693.4 -387.6 -383.4 4.2 1566 2063.2 2451.2 -248.1 -197.0 51.1 1567 1911.7 1530.0 -468.1 -469.0 -0.9 1568 2169.1 1873.1 -544.4 -532.9 11.5 1570 1670.2 1769.8 -287.6 -332.4 -44.8 1572 1848.5 2952.3 -49.2 -81.8 -32.6 1577 1759.2 2895.6 -17.3 -39.9 -22.6 1582 2009.7 2780.5 -136.0 -118.6 17.4 2851 1484.6 2461.6 86.6 143.0 56.4 3741 736.0 1224.0 324.8 370.9 46.1 3742 737.5 1225.3 319.7 361.5 41.8 3971 1178.2 1372.6 7.6 12.8 5.2 5241 1125.8 1537.9 66.3 61.7 -4.6 7811 2242.3 2118.5 -506.3 -485.1 21.2 8556 1508.7 1630.1 -186.1 -205.4 -19.3 --------------------------------------------------- Дисперсия остатка D =657.1 |
----------------------------------------------------------
Скв Х У Z тренд остаток
----------------------------------------------------------
1527 1237.7 1625.9 -4.0 -20.9 -16.9
1529 1062.9 682.6 -70.6 -64.7 5.9
1530 1363.1 1705.9 -60.8 -67.5 -6.7
1531 1466.4 1772.9 -120.9 -133.8 -12.9
1532 1392.6 1818.2 -70.5 -90.6 -20.1
1533 1276.1 1881.0 25.5 13.8 -11.7
1534 1437.5 259.9 -442.9 -450.3 -7.4
1535 1353.3 1994.3 7.8 5.4 -2.4
1536 1799.0 1957.7 -285.8 -290.3 -4.5
1537 1495.0 2086.1 -105.2 -151.7 -46.5
1538 1448.1 2094.2 -46.5 -64.9 -18.4
1539 1655.6 2074.3 -197.4 -234.0 -36.6
1540 1494.1 2139.9 -64.4 -82.4 -18.0
1541 1903.9 2179.0 -270.5 -253.1 17.4
1542 1606.5 2268.9 -88.4 -92.8 -4.4
1543 1533.9 2310.4 -41.9 -51.9 -10.0
1544 1454.0 2361.9 26.5 27.5 1.0
1545 1656.7 2430.8 -55.7 -38.7 17.0
1546 1644.9 2547.3 -38.8 -41.4 -2.6
1547 1568.2 2568.5 23.8 37.7 13.9
1548 1475.9 2591.6 76.5 89.1 12.6
1549 1686.7 2654.0 5.6 40.9 35.3
1550 1574.4 2666.0 38.0 45.3 7.3
1551 1615.9 2768.1 66.2 96.1 29.9
Рис.19. Вариограмма эмпирическая (ломаная линия) и теоретическая
(плавная линия) остатков от тренда. Радиус R = 485м
На этом примере кончается рассмотрение методов построения вариограмм в двухмерном пространстве. Трехмерный вариант вариограмм реализуется в пакете Micromine
Понятие о кригинге
Термин кригинг введен в честь южно-африканского геолога-математика Криге, который впервые использовал кригинг для интерполяции свойств пространственных переменных. Суть кригинга заключается в том, что на основе теоретической вариограммы в пределах радиуса влияния пунктов измерений можно находить прогнозные значения параметров в любой точке геологического пространства, т.е. осуществлять интерполяцию свойств по дискретным данным. Матерон показал, что при некоторых условиях кригинг дает наименьшую дисперсию отклонений прогнозных данных от фактических в пунктах прогноза.
Если можно находить прогнозные значения в одной точке, то можно прогнозировать свойства и во множестве точек, например, на заданной площади или в заданном объеме. Площадь и объем можно рассматривать как множество равномерно распределенных точек, расстояния между которыми малы по сравнению с площадью или объемом геологического объекта.
Прогнозное значение j(x) в любом пункте x в пределах его радиуса влияния R находят с помощью кригинга по формуле:
j(x) = S pi j(xi), (30)
где pi – весовые коэффициенты кригинга, j(xi) – измеренные значения свойства в пунктах xi. Весовые коэффициенты находят путем решения системы уравнений кригинга, учитывающей все расстояния, как между пунктами измерений, так и между пунктом прогноза, а также значения теоретической вариограммы, зависящие от упомянутых расстояний. Отсюда понятно, для чего необходима теоретическая вариограмма, аппроксимирующая эмпирическую вариограмму. Система уравнений кригинга имеет вид:
(31)
Здесь g12 обозначает величину вариограммы, зависящую от расстояния между пунктами 1 и 2, D – дисперсия исходных данных. Чем больше значение разности D - g1 z, тем сильнее влияние пункта 1 на прогнозный пункт z.
Если в исходных данных имеется тренд или периодическая составляющая, то прогнозное значение находят по формуле универсального кригинга:
j(x) = j(x)тр + S pi j(xi), (32)
где j(x)тр – трендовая или периодическая составляющая в пункте х.
Следует отметить, что прогнозирование с помощью кригинга можно осуществлять лишь в пределах радиуса влияния R пункта прогноза.
Дата добавления: 2016-01-06; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!