Вариант расчета 7. Метод Юлы.



Чебышевская аппроксимация.

Расчет на наилучшее согласование

В заданной полосе

Заданными в этом случае являются , , параметры нагрузки и выходное сопротивление генератора. Расчет может быть проведен в следующей последовательности.

1. Достроим нагрузку до резонанса на средней частоте полосы согласования. Для этого определим среднюю частоту полосы согласования  и резонансную частоту нагрузки . Если , то последовательно с нагрузкой следует включить
дополнительную индуктивность , где . Если же , то достройка нагрузки до резонанса на средней частоте

 осуществляется последовательным включением дополнительной емкости , где . Вначале выполним расчет низкочастотного эквивалента СЦ с последующим его преобразованием в полосовую СЦ. При этом в качестве НЧ эквивалента нагрузки следует взять последовательное соединение , если , , если  и . Емкость нагрузки будет восстановлена при преобразовании низкочастотного эквивалента СЦ в полосовую цепь.

2. Осуществим нормировку элементов  и  относительно  и частоты среза НЧ эквивалента СЦ . При этом . Штрихами помечены нормированные элементы.

3. Определим оптимальные значения параметров аппроксимации  и  из условий физической реализуемости цепи и наилучшего согласования (минимального значения ) в заданной полосе. Для этого определим класс нуля передачи. Сопротивление нагрузки . Четная (параэрмитовая) часть сопротивления нагрузки (рис. 3) . Нуль передачи является нулем функции . Очевидно, что  и нуль простой (не кратный, т.е. ). Поскольку , нуль передачи является нулем четвертого класса. При этом условиями физической реализуемости СЦ являются [2, с. 69]

 

.

 

Здесь  и  – коэффициенты разложения в ряды Лорана функций  и  в нуле передачи.

задается в виде дробно-рациональной функции (отношением двух полиномов второй степени, поскольку согласующая цепь двухзвенная)

.

 

Коэффициенты  выражаются через параметры аппроксимации  и  и в нашем случае чебышевской аппроксимации при равны
[2, с. 43]

 

.

 

Фазовая функция  определяется полюсами нагрузки (зна-
чениями , при которых  обращается в бесконечность). Задан-
ная нагрузка имеет один полюс  при . При этом . Функция . Разло-жения в ряды Лорана указанных функций имеют следующий вид:

 

 

 

,

 

.

 

Входящий во второе уравнение физической реализуемости коэффициент  есть вычет  относительно полюса нагрузки , который является также нулем передачи .

Из первого уравнения условия физической реализуемости  следует, что в выражении для  нужно взять знак минус. Из вто-рого уравнения  следует

 

.

 

Вторым необходимым для нахождения неизвестных параметров
аппроксимации условием является условие оптимальности СЦ по критерию минимума . Подлежащая минимизации функция . Ее оптимизацию в данном случае удобно провести методом неопределенных множителей (множителей Лагранжа). Для этого необходимо составить вспомогательную функцию [7, с. 319; 2, с. 65]

 

,

 

а оптимальные значения  и  определяются из уравнений

 

 

Здесь  – неопределенный множитель. Исключая его из системы, получим систему уравнений относительно и

 

 

Полученная система уравненений не разрешается относительно  и . Значения  и  могут быть получены из табл. 4.2 [2, с. 65], где представлены результаты численного решения этой системы с учетом того, что

4. По найденным параметрам аппроксимации  и  с помощью приведенных выше формул определяем коэффициенты полино-
мов числителя и знаменателя  и получившееся минимально возможное значение максимума модуля коэффициента отражения .

5. Далее по найденному выражению  определяем входное со-противление цепи относительно точек подключения нагрузки [2, с. 70]

 

.

 

6. Затем по найденной функции методом Кауэра синтезируем СЦ. Для этого дробно-рациональную функцию  разлагаем в цепную дробь [2, с. 34]

 

.

 

Получившееся расчетное сопротивление генератора , как правило, не равно заданному. Поэтому на входе СЦ следует включить идеальный трансформатор с коэффициентом трансформации . В ре-зультате синтеза приходим к низкочастотному эквиваленту СЦ
(см. рис. 4, а).

7. Производим денормировку элементов и преобразуем низкочастотный эквивалент цепи в полосовую СЦ (см. рис. 2, б)

 

.

 

Если , то , а  отсутствует. Если же , то , а  отсутствует. Величины  и  определены на первом этапе расчета.

На этом расчет заканчивается.

Вариант расчета 8. Метод Юлы.

Чебышевская аппроксимация.

Расчет на максимум полосы

при заданном качестве согласования

В этом случае заданными являются средняя частота полосы согласования , , параметры нагрузки и выходное сопротивление генератора. Расчет СЦ может быть осуществлен в следующей последовательности.

1. Достроим нагрузку до резонанса на средней частоте полосы согласования. Для этого определим резонансную частоту нагрузки . Если , то последовательно с нагрузкой нужно включить дополнительную индуктивность , где . Если же , то достройка нагрузки до резонанса на средней частоте  осуществляется последовательным включением дополнительной емкости , где . Вначале выполним расчет низкочастотного эквивалента СЦ с последующим его преобразованием в полосовую СЦ. При этом в качестве НЧ эквивалента нагрузки следует взять последовательное соединение , если , , если  и . Емкость нагрузки будет восстановлена при преобразовании НЧ эквивалента СЦ в полосовую цепь.

2. Осуществим нормировку элементов  и  относительно   неизвестной частоты среза НЧ эквивалента СЦ . В результате нормировки получим . Штрихами помечены нормированные элементы. Величина  также неизвестна и подлежит определению в процессе расчета.

3. Определим оптимальные значения параметров аппроксимации  и  из условий физической реализуемости СЦ и максимальной
полосы при заданном качестве согласования. Для этого определим класс нуля передачи. Сопротивление нагрузки . Чет-
ная (параэрмитовая) часть сопротивления нагрузки (см. рис. 3) . Нуль передачи является нулем функции . Очевидно, что  и нуль простой (не кратный, т.е. ). Поскольку , нуль передачи является нулем четвертого класса. При этом условиями физической реализуемости СЦ являются [2, с. 69]

 

.

 

Здесь  и  – коэффициенты разложения в ряды Лорана функций  и  в нуле передачи.

В данном конкретном случае  задается в виде дробно-рациональной функции (отношением двух полиномов второй степени, поскольку СЦ двухзвенная)

                               

.

 

Коэффициенты  выражаются через параметры аппроксимации
а и  и в нашем случае чебышевской аппроксимации при  равны [2, с. 43]

 

.

 

Фазовая функция  определяется полюсами нагрузки (значениями , при которых  обращается в бесконечность). Заданная нагрузка имеет один полюс  при . При этом , . Разложения в ряды Лорана указанных функций имеют следующий вид:

 

 

 

,

 

.

 

Входящий во второе уравнение физической реализуемости коэффициент  есть вычет  относительно полюса нагрузки , который является также нулем передачи .

Из первого уравнения условия физической реализуемости  следует, что в выражении для необходимо взять знак минус. Из второго уравнения  следует

 

.

 

Вторым необходимым для нахождения неизвестных параметров ап-проксимации условием является условие оптимальности СЦ по критерию максимума полосы согласования. Минимизации подлежит функция , поскольку она обратно пропор-циональна полосе согласования. Ее оптимизацию в данном случае удобно провести методом неопределенных множителей (множителей Лагранжа). Уравнением связи при этом является . Составим вспомогательную функцию [7, с. 319; 2, с. 64]

     

.   

 

Оптимальные значения и  определяется из системы уравнений

 

 

Здесь  – неопределенный множитель, который нет необходимости определять. Исключая его из системы, получим систему уравнений относительно и :

 

 

Полученная система уравнений не разрешается относительно  и . Значения  и  могут быть получены из табл. 4.2 [2, с. 65], в которой представлены результаты численного решения этой системы с учетом того, что

4. По найденным параметрам аппроксимации  и  с помощью приведенных выше формул определяем коэффициенты и полиномов числителя и знаменателя .

Максимально возможная полоса согласования при заданных качестве согласования и параметрах нагрузки определяется из выражения

 

 и равна .

 

Здесь .

Нижняя и верхняя частоты полосы согласования равны

 

.

 

5. Далее по найденному выражению  определяем входное сопротивление цепи относительно точек подключения нагрузки [2, с. 70]

 

.

 

6. Затем по найденной функции методом Кауэра синтезируем согласующую цепь. Для этого дробно-рациональную функцию  разлагаем в цепную дробь [2, с. 34]

 

.

 

Получившееся расчетное сопротивление генератора , как правило, не равно заданному. Поэтому на входе СЦ следует включить идеальный трансформатор с коэффициентом трансформации .
В результате синтеза приходим к низкочастотному эквиваленту СЦ (см. рис. 4, а).

7. Производим денормировку элементов и преобразуем НЧ эквивалент цепи в полосовую СЦ (см. рис. 4, б)

 

.

 

Если , то , а  отсутствует. Если же , то , а  отсутствует. Величины  и  определены на первом этапе расчета.

На этом расчет заканчивается.

 

 

Список литературы

 

1.  Яковенко В.А. Основы теории широкополосного согласования произвольных импедансов. – Новосибирск: НГТУ, 1997. – 92 с.

2.  Яковенко В.А. Согласующие цепи широкополосных полупроводниковых устройств СВЧ. – Новосибирск: НЭТИ, 1983. – 76 с.

3.  Фано Р. Теоретические ограничения полосы согласования произвольных импедансов: Пер. с англ. / Под ред. Г.И. Слободенюка. – М.: Сов. радио, 1965. – 68 с.

4.  Толстов Ю.Г., Теврюков А.А. Теория электрических цепей. – М.: Высш. школа, 1971. – 296 с.

5.   Вай Кайчень. Теория и проектирование широкополосных согласующих цепей. – М.: Сов. радио, 1979. – 287 с.

6.  Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез: Пер. с англ. / Под ред. С.Е. Лон-дона. – М.: Связь, 1973. – 368 с.

7.  Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с англ. / Под ред. И.Г. Арамановича. – М.: Наука, 1968. – 720 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Ведение............................................................................................... 3

 

I. Программа, методические указания и контрольные

вопросы.......................................................................................... 4

 

1. Синтез линейных электрических цепей.................................... 5

 

2. Проблема аппроксимации в теории линейных электрических

  цепей............................................................................................ 6

 

3. Теория широкополосного согласования Боде–Фано............... 8

 

4. Теория широкополосного согласования Юлы........................ 10

 

5. Решение задачи согласования с помощью теории

   колебательных контуров......................................................... 11

 

II. Контрольное задание и методические указания

для его выполнения................................................................... 13

 

 1. Контрольное задание.............................................................. 13

 

 2. Методические указания.......................................................... 14

 

Список литературы.......................................................................... 46

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 309;