Необходимые условия для применения оптимизационных методов



Методы оптимизации в технике

Методологические основы оптимизации

1    Методологические основы оптимизации. 2

1.1 Необходимые условия для применения оптимизационных методов. 3

1.1.1 Определение границ системы.. 4

1.1.2 Характеристический критерий. 4

1.1.3 Независимые переменные. 5

1.1.4 Модель системы.. 7

1.2 Применение методов оптимизации в инженерной практике. 8

1.2.1 Использование методов оптимизации при проектировании. 9

1.2.2 Использование методов оптимизации при планировании и анализе функционирования систем.. 16

1.2.3 Использование методов оптимизации для анализа и обработки информации. 20

1.3 Структура оптимизационных задач. 23

Литература к главе 2. 24

2    Функции одной переменной. 25

2.1 Свойства функций одной переменной. 25

2.2 Критерии оптимальности. 28

2.3 Методы исключения интервалов. 35

2.3.1 Этап установления границ интервала. 37

2.3.2 Этап уменьшения интервала. 38

Метод деления интервала пополам. 38

Поиск с помощью метода золотого сечения. 39

2.3.3 Сравнение методов исключения интервалов. 42

2.4 Полиномиальная аппроксимация и методы точечного оценивания. 43

2.4.1 Методы оценивания с использованием квадратичной аппроксимации. 44

2.4.2 Метод последовательного оценивания с использованием квадратичной аппроксимации. 46

2.5 Методы с использованием производных. 48

2.5.1 Метод Ньютона — Рафсона. 48

2.5.2 Метод средней точки. 50

2.5.3 Метод секущих (хорд) 50

2.5.4 Метод поиска с использованием кубичной аппроксимации. 52

2.6 Сравнение методов. 55

Заключение. 56

Контрольные вопросы и задачи. 56

Литература. 60

3    Функции нескольких переменных. 62

 

 

Данный конспект лекций является введением и теорию оптимизации и знакомит с приложениями этой теории к решению ряда задач, возникающих в инженерной практике. В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих, избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку классические функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более перспективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Эффективность оптимизационных методов, позволяющих осуществить выбор наилучшего варианта без непосредственной проверки всех возможных вариантов, тесно связана с широким использованием достижений в области математики путем реализации итеративных вычислительных схем, опирающихся на строго обоснованные логические процедуры и алгоритмы, на базе применения вычислительной техники. Поэтому для изложения методологических основ оптимизации требуется привлечение важнейших результатов теории матриц, элементов линейной алгебры и дифференциального исчисления, а также положений математического анализа. Математические понятия и конструкции используются в настоящей книге не только для того, чтобы повысить уровень строгости представления материала, но и потому, что они составляют терминологическую базу изложения, которая позволяет упростить описание и определение структурных элементов рассматриваемых вычислительных процедур и облегчить их понимание.

Поскольку размерность инженерных задач, как правило, достаточно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, оптимизационные методы ориентированы главным образом на реализацию с помощью ЭВМ. Однако, несмотря на то, что изложение методологических принципов ведется с учетом указанной ориентации, в данном конспекте подробно не описаны вопросы, связанные с составлением программ для ЭВМ и программированием. Главное внимание уделяется математическим и логическим построениям, лежащим в основе исследуемых методов, факторам, обусловливающим выбор тех или иных аналитических схем, а так же рассмотрению важнейших прикладных аспектов теории.

Необходимые условия для применения оптимизационных методов

Для того чтобы использовать математические результаты и численные методы теории оптимизации для решения конкретных инженерных задач, необходимо установить границы подлежащей оптимизации инженерной системы, определить количественный критерий, на основе которого можно произвести анализ вариантов с целью выявления «наилучшего», осуществить выбор внутрисистемных переменных, которые используются для определения характеристик и идентификации вариантов, и, наконец, построить модель, отражающую взаимосвязи между переменными. Эта последовательность действий составляет содержание процесса постановки задачи инженерной оптимизации. Корректная постановка задачи служит ключом к успеху оптимизационного исследования и ассоциируется в большей степени с искусством, нежели с точной наукой. Искусство постановки задач постигается в практической деятельности на примерах успешной реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфических особенностей различных методов теории оптимизации. По этим причинам изложение материала сопровождается большим количеством практических примеров. Кроме того, наряду с описанием оптимизационных методов, освещаются вопросы, касающиеся их относительных преимуществ и недостатков; в ряде случаев приводятся результаты расчетов, подтверждающие обоснованность сделанных выводов, и даются ссылки на соответствующие публикации.

Определение границ системы

Прежде чем приступить к оптимизационному исследованию, важно четко определить границы изучаемой системы. В данном контексте система предстает как некоторая изолированная часть реального мира. Границы системы задаются пределами, отделяющими систему от внешней среды, и служат для выделения системы из ее окружения. При проведении анализа обычно предполагается, что взаимосвязи между системой и внешней средой зафиксированы на некотором выбранном уровне представления. Тем не менее, поскольку такие взаимосвязи всегда существуют, определение границ системы является первым шагом в процессе приближенного описания реальной системы.

В ряде случаев может оказаться, что первоначальный выбор границ является слишком жестким. Для более полного анализа данной инженерной системы может возникнуть необходимость расширения установленных границ системы путем включения других подсистем, оказывающих существенное влияние на функционирование исследуемой системы.

Предположим, например, что на промышленном предприятии имеется красильный цех, в котором готовые изделия поступают на поточную линию и окрашиваются в различные цвета. На первой стадии изучения красильного цеха можно рассматривать его изолированно от других цехов предприятия. Однако анализ может показать, что оптимальный размер партии изделий и последовательность нанесения красителей в существенной степени зависят от особенностей функционирования производственного цеха, в котором выпускаются готовые изделия. Таким образом, возникает необходимость принять, решение о расширении границ системы путем включения в нее производственного цеха. Разумеется, расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, следовательно, в значительной мере затрудняет ее анализ. Очевидно, что в инженерной практике следует, насколько это, возможно, стремиться к разбиению больших сложных систем на относительно небольшие подсистемы, которые можно изучать по отдельности. Однако при этом необходимо иметь уверенность в том, что такая декомпозиция не приведет к излишнему упрощению реальной ситуации.

Характеристический критерий

Если подлежащая исследованию система определена и ее границы установлены, то на следующем этапе постановки задачи оптимизации необходимо осуществить выбор критерия, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта, с тем чтобы выявить «наилучший» проект или множество «наилучших» условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются критерии экономического характера. Однако спектр возможных формулировок таких критериев весьма широк; при определении критерия могут использоваться такие экономические характеристики, как валовые капитальные затраты, издержки в единицу времени, чистая прибыль в единицу времени, доходы от инвестиций, отношение затрат к прибыли или собственный капитал на данный момент времени. В других приложениях критерий может основываться на некоторых технологических факторах, например, когда требуется минимизировать продолжительность процесса производства изделия, максимизировать темпы производства, минимизировать количество потребляемой энергии, максимизировать величину крутящего момента, максимизировать нагрузку и т. п. Независимо от того, какой критерий выбирается при оптимизации, «наилучшему» варианту всегда соответствует минимальное или максимальное значение характеристического показателя качества функционирования системы.

Важно отметить, что независимо от содержания оптимизационных методов, рассматриваемых в настоящей книге, только один критерий (и, следовательно, характеристическая мера) может использоваться при определении оптимума, так как невозможно получить решение, которое, например, одновременно обеспечивает минимум затрат, максимум надежности и минимум потребляемой энергии. Происходит существенное упрощение реальной ситуации, поскольку в ряде практических случаев было бы весьма желательным найти решение, которое бы являлось «наилучшим» с позиции нескольких различных критериев.

Один из путей учета совокупности противоречивых целевых установок состоит в том, что какой-либо из критериев выбирается в качестве первичного, тогда как остальные критерии считаются вторичными. В этом случае первичный критерий используется при оптимизации как характеристическая мера, а вторичные критерии порождают ограничения оптимизационной задачи, которые устанавливают диапазоны изменений соответствующих показателей от минимального до максимального приемлемого значения. В частности, в примере с красильным цехом различными служащими фирмы, которой принадлежит промышленное предприятие, могут быть выбраны следующие критерии.

1. Управляющий красильным цехом отдает предпочтение проекту, согласно которому производственный процесс протекает с минимальными изменениями в ассортименте изделий и используемых красок. При этом максимизируется количество изделий, окрашиваемых в единицу времени.

2. Руководитель отдела сбыта, заинтересован в реализации проекта, в соответствии с которым объемы складских запасов изделий всех видов и окрасок максимальны. В этом случае минимизируется продолжительность интервала времени между получением заказа от потребителя и его выполнением.

3. Руководитель фирмы отдает предпочтение проекту, в соответствии с которым объемы складских запасов минимальны, с тем, чтобы уменьшить капитальные издержки на хранение изделий.

Нетрудно видеть, что эти критерии не могут быть реализованы при оптимизации одновременно. Приемлемым компромиссом является выбор в качестве первичного характеристического показателя качества функционирования системы подлежащего минимизации показателя суммарных затрат в единицу времени с последующим учетом необходимых вторичных условий, к числу которых относится поддержание объемов складских запасов изделий всех видов в заранее установленных границах, а также ограничение количества изменений в ассортименте изделий и используемых красок в течение недели.

Необходимо отметить, что для применения рассматриваемых далее методов необходимо сформулировать оптимизационную задачу, которая обладает единственным характеристическим критерием. За последние годы разработан ряд методов решения мультикритериальных оптимизационных задач различных типов, однако обсуждение этого нового и постоянно совершенствуемого аналитического аппарата выходит за рамки курса ( подробности см. в [1, 2]).

Независимые переменные

На третьем основном этапе постановки задачи оптимизации осуществляется выбор независимых переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционировании системы. В процессе выбора независимых переменных следует принять во внимание ряд важных обстоятельств, которые рассматриваются ниже.

Во-первых, необходимо провести различие между переменными, значения которых могут изменяться в достаточно широком диапазоне, и переменными, значения которых фиксированы и определяются внешними факторами. Так, в примере с красильным цехом виды изделий и сорта применяемых красок зафиксированы технологическими спецификациями или заказами потребителей, т. е. относятся к числу параметров системы. С другой стороны, порядок окраски изделий в различные цвети с учетом ограничений, накладываемых на количество видов изделий и объемы складских запасов, представляется независимой переменной, значения которой могут варьироваться при заданной производственной программе.

Далее важно провести различие между теми параметрами системы, которые могут предполагаться постоянными, и параметрами, которые подвержены флуктуациям вследствие воздействия внешних или неконтролируемых факторов. В частности, в примере с красильным цехом поломки оборудования и прогулы рабочих могут оказать весьма заметное влияние на процесс производства в цехе. Ясно. что существенные изменения этих важных параметров системы должны быть приняты во внимание при постановке задачи производственного планирования, если требуется, чтобы составленный оптимальный план был реалистичным и выполнимым.

Во вторых, при постановке задачи следует учитывать все основные переменные, которые влияют на функционирование системы или качество проекта! Например, если при проектировании газохранилища рассматривать высоту, диаметр и толщину стенок цилиндрического газгольдера как независимые переменные, но исключить возможность использования компрессора для повышения рабочего давления, то получится проект весьма низкого качества. Для выбранной и фиксированной величины давления, разумеется, можно определить размеры газгольдера, обеспечивающие его наименьшую стоимость. Однако если включить в число независимых переменных давление, при котором хранится газ, и ввести в характеристический критерий стоимость компрессора, то можно получить проект, реализация которого требует меньших полных затрат из-за уменьшения необходимого объема газгольдера. Следовательно, независимые переменные должны выбираться таким образом, чтобы все важнейшие технико-экономические решения нашли отражение в формулировке задачи. Исключение возможных альтернатив в общем случае приводит к получению субоптимальных решений.

Наконец, еще одним существенным фактором, влияющим на выбор переменных, является уровень детализации при исследовании системы. Очень важно ввести в рассмотрение все основные независимые переменные, по не менее важно не «перегружать» задачу большим количеством мелких, несущественных деталей. Например, при проведении предварительного анализа производственного процесса, включающего большое число различных видов оборудования - сосудов высокого давления, колонн, насосов, компрессоров и теплообменников,— обычно явным образом не учитываются несущественные особенности конструкции того или иного устройства. Теплообменник может быть с достаточной для поставленных целей полнотой охарактеризован как размерами площади поверхности теплопередачи, так и перепадами давления в трубах и корпусе аппарата. Переменные, имеющие непосредственное отношение к конструкции аппарата,— количество и размеры труб, число проходов труб через корпус, частота расположения перегородок и размеры корпуса — рассматриваются, как правило, при исследовании каждого отдельного устройства. При выборе независимых переменных целесообразно руководствоваться правилом, согласно которому следует рассматривать только те переменные, которые оказывают существенное влияние на характеристический критерий, выбранный для анализа сложной системы.

Модель системы

После того как характеристический критерий и независимые переменные выбраны, на следующем этапе постановки задачи необходимо построить модель, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на степень достижения цели, определяемой характеристическим критерием. В принципе оптимизационное исследование можно провести на основе непосредственного экспериментирования с системой.

Для этого следует зафиксировать значения независимых внутрисистемных переменных, реализовать процедуру наблюдения за функционированием системы в этих условиях и оценить значение характеристического показателя качества функционирования системы, исходя из зарегистрированных характеристик. Затем с помощью оптимизационных методов можно скорректировать значения независимых переменных и продолжить серию экспериментов. Однако на практике оптимизационные исследования проводятся, как правило, на основе упрощенного математического представления системы, которое носит название модели. Применение моделей обусловлено тем, что эксперименты с реальными системами обычно требуют слишком больших затрат средств и времени, а также в ряде случаев оказываются связанными с риском. Модели широко используются при инженерном проектировании, поскольку это открывает возможности для реализации наиболее экономичного способа изучения влияния изменений в значениях основных независимых переменных на показатель качества функционирования системы.

В самом общем представлении структура модели включает ос­новные уравнения материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, а также уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в системе. Эти уравнения обычно дополняются неравенствами, которые определяют область допустимых значений независимых переменных, позволяют определить требования, накладываемые на верхние или нижние границы изменения характеристик функционирования системы, и установить лимиты имеющихся ресурсов. Таким образом, элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при расчете проекта или прогнозировании характеристик инженерной системы. Очевидно, что процесс построения модели является весьма трудоемким и требует четкого понимания специфических особенностей рассматриваемой системы. Следует отметить, что модель представляет собой некоторый набор уравнений и неравенств, которые определяют взаимосвязь между переменными системы и ограничивают область допустимых изменений переменных.

Из вышеизложенного следует, что задача в виде, пригодном для применения оптимизационных методов, объединяет характеристическую меру, множество независимых переменных и модель, отражающую взаимосвязь переменных. Поскольку требования, предъявляемые к оптимизационным задачам, являются весьма общими и носят абстрактный характер, область приложения методов оптимизации может быть достаточно широкой. Действительно, рассматриваемые ниже методы находят применение при решении самых различных задач науки и техники, включая задачи оптимального проектирования структурных элементов систем и процессов, планирования стратегий капитальных вложении, компоновки сетей складских помещений, определения оптимальных маршрутов движения грузового транспорта, планирования в здравоохранении, дислокации вооруженных сил, проектирования механических узлов и ряд других задач. Основное внимание уделяется инженерным приложениям.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 399; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!