Определение условного максимума функционала
С ограничениями типа дифференциальных уравнений.
Принцип максимума Понтрягина.
(7.11)
i = 1, 2, …, n. (7.12)
Для решения задачи (7.11), (7.12) используется необходимые условия оптимальности, известные как принцип максимума Понтрягина. Составляем функционал Понтрягина:
(7.13)
Если и
решение задачи (7.11), (7.12), то найдется такой вектор
, что при
и
функция Н достигает максимум по
(7.14)
Составляющие вектора являются решением системы дифференциальных уравнений.
(7.15)
с граничным условием , (7.16)
если не заданы составляющие при t=T. Если условия заданы в общем виде
, (7.17)
то (7.18)
Последовательность решения задачи (7.11) (7.12)
1) Составляем функционал Н в соответствии с (7.13) и из условия (7.14) определяем
2) Решаем систему уравнений (7.15) для переменных с граничными условиями (7.16) или (7.18).
3) Решаем систему дифференциальных уравнений (7.12) совместное решение позволяет найти .
8. Оптимальное управление технологическими процессами.
Формирование критериев оптимальности.
|
|
Любой технологический процесс характеризуется рядом показателей - таких как производительность G, вектор К, определяющий качество выходного продукта, показатель надежности Р, капиталовложения М, затраты на обслуживание . Как уже указывалось выше (см. раздел 1.4) возможны два подхода к формулированию оптимизационных задач. При первом походе в качестве критерия оптимальности выбирается один из показателей функционирования процесса, наиболее важный с точки зрения постановщика задачи, а остальные учитываются при формировании ограничений.
Однако часто возникает желание оптимизировать одновременно несколько показателей функционирования. При этом можно пойти по пути формирования сводного критерия оптимальности, так или иначе включающего в себя показатели, подлежащие оптимизации (частные критерии) или обойтись без него.
Возможные способы формулировки задачи оптимизации с несколькими частными критериями рассмотрены в этом разделе.
Способы формирования сводного критерия оптимальности.
Обозначим через Iυ υ-ый показатель функционирования процесса и будем для простоты считать, что в результате оптимизации желательно каждый из m таких показателей (частных критериев) увеличить. Если некоторые из показателей, например капиталовложения М, нужно уменьшить, то соответствующий им частный критерий Iυ, примем равным -М. Через обозначим параметры процесса и системы управления, подлежащие оптимальному выбору (переменные управления), и будем первоначально считать задачу полностью детерминированной, полагая, что значение каждого из частных критериев становится известным при заданных
. Совокупность ограничений, накладываемых на оптимизируемые параметры управления составит область допустимых значений варьируемых переменных.
|
|
Для пояснения способов формирования сводного критерия ограничимся случаем с двумя переменными U1 и U2, подлежащими выбору и двумя частными критериями I1 и I2, геометрическая интерпретация которого представлена на рис. 8.1.
Рис.8.1
|



Аналогично отображая каждую точку границы области допустимых значений управлений V, получаем на плоскости критериев область допустимых значений критериев I, включающую в себя все значения частных критериев I1 и I2, которые могут быть получены, при допустимых значениях управлений U1 и U2.
|
|
Очевидно, что оптимальное решение по одному критерию приводит в точку
и не совпадает с оптимальным решением по другому критерию
(точка
). Чтобы найти оптимальное решение
, можно пойти по пути формирования из частных критериев Iυ сводного критерия
. Рассмотрим несколько способов получения сводного критерия.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 523; Мы поможем в написании вашей работы! |

Мы поможем в написании ваших работ!