Численные методы решения задачи. При решении задача (4.1.) – (4.4) должна быть преобразована в задачу безусловной оптимизации, к которой можно применить различные методы многомерного поиска:



При решении задача (4.1.) – (4.4) должна быть преобразована в задачу безусловной оптимизации, к которой можно применить различные методы многомерного поиска: покоординатного спуска, градиента, симплекс и т.д.

 

Метод штрафных функций

Перевод задачи (4.1.) – (4.4.) к задаче безусловной оптимизации осуществляется введением в целевую функцию дополнительных слагаемых, которые «штрафуют» за нарушение любого из условий (4.3.) или (4.4.), т.е. осуществляется переход к новой целевой функции вида:

                  (4.25)

 Функция Ш выбирается так, чтобы она была равна нулю, если соответствующее ей ограничение  или , выполняется и много больше нуля, если не выполняется.

Исходя из этого, обычно выбирают:

                                               (4.26)     

 

              (4.27)                    

 

                                                    (4.28)

                            (4.29)

Таким образом, при поиске безусловного максимума  значение этой функции будет возрастать до тех пор, пока при расчетах используются значения варьируемых переменных , обеспечивающие выполнение всех ограничений типа связи и функциональных ограничений, накладываемых на исходную целевую функцию , а как только значения выйдут из области допустимых значений D, значение функции резко уменьшиться, т.е. поиск безусловного максимума функции  всегда будет проводиться в области , т.е. соответствовать поиску условного максимума целевой функции .

Для обеспечения выполнения условия (4.27) и (4.29) необходимо выбирать α = const >>1. Решение задачи (4.25) точно совпадает с решением исходной задачи (4. 1) – (4.4.) только при α → ∞. Практическая точность зависит от величины коэффициентов α и увеличивается с их ростом. Однако введение штрафных функций вызывает деформацию линий равного уровня целевой функции. На ее поверхности образуются гребни и овраги, что затрудняет численную процедуру поиска (см. раздел 3.3.2.1.).

Крутизна гребней и оврагов возрастает с увеличением α, поэтому целесообразно решение искать в несколько этапов.

Вначале, принимают α (0) - малым и находят решение (α(0)), которое значительно отличается от истинного. Полученный результат принимается за начальное приближение для следующего этапа расчета при α(1) > α(0), в результате получается значение  (α(1)), более близкое к истинному и т.д. Таким образом, поиск на каждом этапе происходит в окрестности решения, где овражность сказывается меньше.

Расчет заканчивается, когда

где N – число этапов расчета.,

 - заданная допустимая погрешность расчета переменной    Хi,        

n – количество  варьируемых переменных целевой функции.

 

Оптимизация многостадийных процессов

Постановка задачи на примере и ее формализация.

Рассмотрим технологическую схему получения ректифицированного спирта, представленную на рис. 5.1.

Рис 5.1.

 

С0, С1, С2,С3  - концентрации спирта; 

G1, G2, G3 -   расходы пара;             

C1= F1 (C0, G1);                  C2= F2 (C1,G2);                   C3= F3 (C2,G3);

где F1, F2, F3 функции, связывающие выход и вход на каждой стадии ректификации.

Необходимо минимизировать расход пара, т.е. найти такие

G10,G20,G30, при которых

→ min

Учитывая, что argmax f0(X) = argmin (-f0(X)), (см. раздел 1.4.), получаем оптимизационную задачу для многостадийного процесса.

-

    Gi*    Gi ≤ Gi *                      i = 1, 2, 3

D= Ci - Fi (C i-1, Gi) = 0

    C3  ≥ Cзад

Формализуя данную задачу для процесса из n стадий, получаем структурную схему, представленную на рис. 5.2. , для каждого элемента которой выполняется условие    Xi = fi(Xi-1, Ui) и    формируется целевая  функция f0i (Xi, Ui)  (в примере Gi).

 

                                      Рис. 5.2

 Где,   - переменные состояния ( в примере Ci )

     - переменные управления (в примере Gi)

    Для всего процесса получаем:

I = ( ) →  ,                                                 (5.1.)

где n – количество стадий (этапов) процессов.

(5.2) (5.3) (5.4)

Последовательность управлений U1, U2…Un (см. рис. 5.2) называется стратегией управления.

Оптимизация многостадийных процессов сводится к отысканию оптимальной стратегии управления, которая обеспечит перевод процесса из заданного начального состояния X0 в заданное конечное состояние Xn с минимальными затратами на управление.

 

5.2. Решение задачи методом неопределенных множителей Лагранжа.

Оптимизационная задача (5.1.) – (5.4.) представляет собой задачу определения условного max с автономными ограничениями (5.3), (5.4) и ограничениями типа связи (5.2). Как известно (см. раздел 4.2.1.) такая задача может быть решена методом неопределенных множителей Лагранжа:

(Xi, Ui)+

    Необходимые условия оптимальности

                         (5.6.)

 

   D=                      (5.7.)

 

   = Xi - fi (i-1 , Ui) = 0                                            (5.8.)

Поясним вывод выражения (5.6.). Например, для = 2 имеем:

L = f01 (X1U1) + f02(X2 U2) + λ1 (X1 - f1 (X0U1)) + λ2 (X2 – f2 (X1 U2))

   

Произведя замену для случая  стадий ,  получаем выражение (5.6), которое является рекуррентной формулой для расчета λ i. через λi+1.

                          (5.9.)

Для его использования задается граничное условие. Очевидно, что после окончания процесса

λ n+1 = 0                                                                        (5.10.)

Пример:

                     

Из условия примера следует:

Вычисляем значения частных производных, содержащихся в правой части выражения (5.9.).

                   для  =1, 2, 3

Составляем функцию Лагранжа аналогично (5.5.):

(Xi, Ui)+

Из выражения (5.10) для случая n=3 имеем:

λn+1 = λ4 = 0

По выражению (5.9) вычисляем λi  (i=1,2,3), используя значения частных производных, вычисленные выше

λ2 = λ3 ּ 1 - 1 = (-1) ּ 1 - 1 = - 2

λ1   = (- 2) ּ 1 – 1 = - 3

Проверяем выполняемость условия (5.7)

Так как производные , (i=1,2, 3) больше нуля, то необходимое условие оптимальности (5.7) может быть выполнено только при ∆Ui < 0, т.е. при верхнем граничном значении управления (см. раздел 1.4.), следовательно, U10=U20=U30=1.

Зная оптимальные значения переменных управления , (i=1,2, 3), рассчитываем оптимальные значения переменных состояния Xi0 по уравнению связи (5.8).

X10  = X0 + 2U1 = 1 + 2 · 1 = 3 

X20  = 3 + 2 · 1 = 5

X30  = 5 + 2 · 1 = 7                         

Вычисляем максимальное значение критерия оптимальности

= (3 – 1) + (5 – 1) + (7 – 1) = 12

Задача решена.

 


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 218; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ