Определение безусловного максимума функции нескольких переменных.
Постановка задачи и ее геометрическая интерпретация.
Линии равного уровня.
(3.1). по вектору , где и область допустимых значений V задана условиями (3.2).
Заметим, что в дальнейшем все области допустимых значений варьируемых переменных, задаваемые только в виде автономных ограничений (3.2) будем обозначать буквой V, а области, где присутствуют ограничения типа связи и (или) функциональные ограничения по-прежнему буквой D.
Таким образом по постановке задачи сразу можно будет отличать задачу на нахождение целевого максимума , от задачи на нахождение безусловного максимума .
Рис. 3.1.
Рассмотрим - функция двух переменных (рис. 3.1). Для ее изображения необходимо трехмерное пространство, что неудобно. Поэтому функцию двух переменных обычно изображают на плоскости варьируемых переменных X1, X2 в виде линий равного уровня (рис. 3.2). Координаты X1 и X2 любой точки линии равного уровня дадут одно и то же значение целевой функции . Внутри линий равного уровня отображается точка максимума M. Чем ближе расположена линия равного уровня к точке максимума, тем большему значению целевой функции она соответствует. Так на рисунке 3.1 имеем С2 > С1.
Задавая границы и i=1,2 получаем множество допустимых значений варьируемых переменных V в виде прямоугольника (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Если в V имеет единственный max, то функция выпукла, иначе может быть несколько решений (локальных максимумов - точки М1 и М2 на рис. 3.3), среди которых необходимо выбрать наибольшее (глобальный максимум).
|
|
Методы определения максимума здесь также делятся на аналитические и численные.
Рис. 3.3
Аналитический метод решения задачи.
Аналитический метод использует необходимое условие max функции нескольких переменных:
Для того чтобы в точке функция , необходимо, чтобы (3.3), для всех i=1,2…n. Для выделения точек максимума необходимо также проверить знаки диагональных миноров матрицы вторых производных (матрицы Гессе).
В общем случае:
(3.4)
Для функции двух переменных:
(3.5)
(3.6)
где - главный определитель матрицы.
В зависимости от знака D возможны три случая:
1) D < 0 – экстремум отсутствует, точка перегиба,
2) D = 0 – требуется дополнительное исследование,
3) D > 0 – экстремум есть, причем в случае
< 0 и < 0, это max, а при
> 0 и > 0 – min.
|
|
Пример.
Определить максимум функции
;
Откуда ,
< 0
< 0 ,
откуда > 0, т.е. , - точка max, т.к. < 0 и < 0.
Численные методы решения задачи
(методы многомерного поиска).
Численные методы многомерного поиска будем рассматривать на примере нахождения максимума функции двух переменных. Такие функции, как показано выше (раздел 3.1.), изображаются на плоскости в виде линий равного уровня.
Наложение автономных ограничений на переменные приводит к выделению на плоскости области допустимых решений V в виде прямоугольника(рис. 3.4).
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 577; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!