Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.



В данном случае в критерии оптимальности присутствует только одна варьируемая переменная. На нее могут быть наложены только автономные ограничения и постановка задачи принимает вид:

(2.1)

  (2.2)

В соответствии с теоремой Вейерштрассе всякая функция , непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве ( ), достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. Функция  выпукла на , если она имеет на этом множестве единственный максимум. Выпуклая функция обладает тем свойством, что, если через две любые принадлежащие ей точки провести прямую (с координатами  и ), то любая промежуточная точка этой прямой не будет превышать значение функции при том же Х (рис.2.1). Для выпуклой функции справедливо выражение:

,     где

Если функция не выпукла (неунимодальна), то она будет иметь несколько точек максимума, причем значение функции в этих точках будет различным (рис. 2.2)

В этом случае точка, соответствующая наибольшему значению функции (точка  на рисунке) называется точкой глобального максимума, а остальные точки ( , , , ) – локальными максимумами функции.

 

 

Рис.2.1

       

Все методы решения оптимизационных задач, в том числе методы определения максимума функции одной переменной делятся на:

1. Аналитические, основанные на необходимых или достаточных условиях оптимальности, причем достаточные условия применяются только в случае сложноорганизованных областей допустимых значений D.

2. Численные, которые представляют собой вычислительную процедуру, обеспечивающую последовательное уточнение решения от некоторого начального приближения до максимума с заданной допустимой погрешностью.

Аналитический метод решения задачи. Условия максимума функции одной переменной.

Пусть  - непрерывная и дважды дифференцируемая функция при  и X0 - точка предполагаемого маусимума функции. Для того, чтобы при X0 функция достигала max необходимо, чтобы при любом другом Х, сколь угодно близком к X0, т.е. , выполнялось соотношение                                                                            (2.3)          

Разложим  в ряд Тейлора в окрестности точки X0

             (2.4)

При небольших , членами, содержащими приращения в степени больше единицы можно пренебречь и тогда из (2.4) следует:

.                              (2.5)

Подставляя (2.5) в (2.3) окончательно получаем необходимое условие максимума функции одной переменной:

                                                                   (2.6)

При использовании этого условия могут возникнуть два варианта:

1.  - внутренняя точка интервала допустимых значений (рис. 2.3). В этом случае знак не определен и для выполнения условия (2.6) необходимо

                                                                           (2.7)

При этом знак разности (2.3) определяется знаком первого отброшенного члена ряда Тейлора, т.е. знаком . Поэтому необходимое условие max (2.7) дополняется условием

                                                                      (2.8)

2.  - граничная точка интервала . В этом случае знак определен (рис. 2.4) и для расчетов будем использовать выражение (2.6).

                 Рис.2.3.                                   Х*              Х* Х

                                                                           Рис. 2.4.

 

Сформулируем правила применения необходимых условий максимума функции одной переменной.

1. Определяют все корни уравнения (2.7), являющиеся внутренними точками отрезка  и для каждого из них проверяют условие (2.8). Удовлетворяющие ему корни являются точками локальных максимумов целевой функции.

2. Рассчитывают значение функции  в этих точках и сравнив их между собой определяют глобальный максимум.

3. Если среди корней уравнения (2.7), нет значений, принадлежащих множеству допустимых решений, необходимо проверить граничные точки  и  с использованием условия (2.6).

Пример. Определить максимум функции  при

а) , б) , в) ;

а) X0 = 0.6, внутренняя точка отрезка , следовательно, знак ΔX не определен и необходимо проверить выполнение условия (2.8).

< 0 

Условие (2.8) выполняется.                    

Ответ:

б) , проверим  - нижняя граница отрезка , следовательно, DХ > 0.

Проверяем выполнение условия (2.6).

 < 0.

Условие (2.6)  выполняется, т.е. .

в) . Проверим Х = 0.5 – верхняя граница отрезка , следовательно, DХ < 0.

Проверяем выполнение условия (2.6): > 0

Условие (2.6) выполняется, т.е.


Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 268;