Условия оптимальности решения.

Необходимые условия оптимальности.

Общая формулировка необходимых условий: если из утверждения А всегда следует утверждение В, то В необходимо для А.

Применительно к задаче оптимизации: из утверждения А (  - лучший элемент множества D) следует утверждение В (  - лучший элемент множества L, принадлежащего D и образующего окрестность ) (рис.1.7).

                                        Рис. 1.7

Таким образом локальная неулучшаемость (  - лучший элемент среди допустимых элементов своей окрестности) является необходимым условием для того, чтобы  был оптимальным решением. Иными словами, для того чтобы X° был оптимальным решением на множестве D, необходимо, чтобы X° был оптимальным решением на множестве L, принадлежащем D и образующим окрестность точки X°. Как правило, множество L выбирают так, чтобы на нем критерий и ограничения исходной задачи точно совпадали с критерием и ограничениями вспомогательной упрощенной задачи, для которой решение можно выделить с помощью некоторых уравнений. В этом случае уравнения, выделяющие локально неулучшаемое решение, оказываются необходимыми условиями оптимальности исходной задачи. Обычно упрощенную задачу строят посредством линеаризации исходной в окрестности искомого оптимального решения.

Достаточные условия оптимальности.

Общая формулировка достаточных условий: если из утверждения В всегда следует утверждение А, то В достаточно для А. Применительно к задаче оптимизации из утверждения В (решение  является лучшим на множестве V, включающем множество D, причем  принадлежит D) всегда следует утверждение А (  - лучший элемент множества D) (рис.1.8)).

Рис. 1.8

Таким образом, неулучшаемость на множестве, охватывающем D, вместе с принадлежностью к D, является достаточным условием того, чтобы  было искомым оптимальным решением.

Иными словами, для того, чтобы X° был оптимальным решением на множестве D, достаточно чтобы X° был оптимальным решением на множестве V, включающем множество D, и принадлежал множеству D.

 Использование достаточных условий целесообразно при сложноорганизованных множествах допустимых решений D, что затрудняет решение задачи, расширенное же множество V оказывается гораздо проще.

Например множество D, представленное на рис. 1.8 целесообразно заменить областью V, которая представляет собой прямоугольник, включающий в себя область D и может быть описана автономными ограничениями вида  (см. рис. 1.8)

2. Определение максимума функции одной переменной.

Мы поможем в написании ваших работ!