Тема: Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование
Цель: сформировать умение находить производные функций, заданных в явном, логарифмическом и параметрическом виде, находить производные сложных функций.
Теоретические сведения к практическому занятию:
Производной функции 
называется конечный предел отношения приращения функции 
к приращению независимой переменной 
при стремлении последнего к нулю:
Производная сложной функции 
Функция задана параметрическими уравнениями 
Производной n -го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
Производная второго порядка 
или 
Производная третьего порядка 
или 
и т. д.
Пример 1. Найти производную функции:
а) 
Решение.
а) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v=1; используя формулу (3), получим:
Пример 2 . Найти производную 
, если функция задана парамет-рически: 
Используем правило VII 
Пример 3 . Найти производную второго порядка функции 
Решение. 
поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.
Пример 4. Найти производную функции 
логарифмическим дифференцированием
Самостоятельная работа:
Задание 1. Найти производные сложных функций
1) 
2) 
3) 
Задание 2. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
|
|
|
6) 
Содержание практического занятия:
А. Ответить на вопросы:
1) Дать определение производной функции.
2) Как найти производную сложной функции. Привести примеры.
3) Как найти производную функции, заданной параметрически. Привести примеры.
4) Как найти производную функции, используя логарифмическое дифференцирование. Привести примеры.
5) Привести примеры нахождения производных второго порядка для различных функций.
Б. Выполнить задания:
Задание 1. Найти производную функции y=у(x), заданной параметрически:
1) 
2) 
3) 
4) 
Задание 2. Найти производную второго порядка функции y=f(x).
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Задание 3. Найти производную функции логарифмическим дифференцированием
1) 
2) 
3)
4) 
Тема: Правило Лопиталя для вычисления пределов
Цель: сформировать умение применять правило Лопиталя для нахождения пределов.
Теоретические сведения к практическому занятию
Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. 
или б.б. 
функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:
(*)
Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать
|
|
|
16
элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (*).
Пример 1. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:
а) 
б) 
Решение.
а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение 
, определим предел числителя и знаменателя.
т. к. 
Аналогично: 
Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:
б) 
Самостоятельная работа:
Задание 1 . Найти пределы, используя правило Лопиталя.
1) 
2) 
3) 
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 78; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!