Тема: Матрицы и действия с ними

Цель: сформировать умение выполнять арифметические действия с матрицами

Теоретические сведения к практическому занятию:

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица имеет размер 2x3. Далее, b_ij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j -го столбца данной матрицы (в примере b ₂₃ =5).

При ссылке на i -ю строку матрицы A используют обозначение A_i, при ссылке на j -й столбец – обозначение A^j.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a ₁₁ , a ₂₂ ,…, a_nn квадратной матрицы A (размера nxn ) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A , B называются равными (A = B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k , необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

Чтобы найти сумму матриц A , B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

Пример 1. Найти 2 A - B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Имеем:

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB = C, матрица C имеет размер mxp , и ее элемент c_ij находится как скалярное произведение i -й строки матрицы A на j -й столбец матрицы B : ( i =1,2,…, m ; j =1,2,…, p ). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева)умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Пример 2. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn , называется матрица A^T размера nxm , строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если , то .

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения матрицы на число и сложения матриц, получим:

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение r ( A ). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r ( A )=3, r ( B )=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше (например, для матрицы А размера 2x3 ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b ₁₂, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй ( ):