Аналитические методы исследования надежности
Эти методы используют теоремы теории вероятностей (сложения, умножения вероятностей, формулы полной вероятности и др.). В зависимости от принятых методов представления функционально-структурных связей системы и принятых допущений разработан ряд аналитических методов расчета показателей надежности. Рассмотрим метод расчета надежности, основанный на использовании универсальных производящих функций вероятностей [7].Этот метод может быть использован для расчета надежности схем, которые имеют так называемую приводимую структуру, т.е. такую структуру, где все элементы соединены последовательно и параллельно в смысле надежности. При этом под последовательным соединением понимается такая функциональная связь элементов в системе, что отказ системы наступает при отказе хотя бы одного из элементов. Параллельным соединением называется такая функциональная связь элементов в системе, что ее полный отказ наступает только при отказе всех элементов. Предположим, что каждый 
-й элемент системы может находиться в одном из двух состояний – в состоянии полной работоспособности с вероятностью 
или в состоянии отказа с вероятностью 
. Если количество элементов в системе равно 
, то число состояний системы 
составляет 
. Вероятность каждого состояния системы определяется в результате произведения биномов
,
Например, для системы, состоящей из двух элементов, число возможных ее состояний равно 4:
|
|
|
.
Первое состояние системы (когда оба элемента находятся в состоянии полной работоспособности) характеризуется вероятностью 
. Второе состояние системы характеризуется вероятностью 
(когда первый элемент находится в состоянии полной работоспособности, а второй элемент в состоянии отказа). Третье состояние системы характеризуется вероятностью 
(когда первый элемент находится в состоянии отказа, а второй в состоянии полной работоспособности). Наконец, четвертое состояние системы, когда оба элемента находятся в состоянии отказа, характеризуется вероятностью 
. Для того, чтобы определить показатели надежности в целом для системы необходимо выполнить анализ каждого состояния системы на предмет наличия или отсутствия в ней отказа. Как уже ранее было отмечено, надежность систем зависит от ее структуры. Покажем это на примере определения показателей надежности для двух систем, содержащих одинаковое количество элементов. В первой элементы соединены последовательно (рис. 6.1), а во второй – параллельно (рис. 6.2). Примем также, что пропускная способность каждого элемента 
равна нагрузке системы 
.
|
|
|
Рис.6.1. Последовательное Рис.6.2. Параллельное
соединение элементов в системе. соединение элементов в системе.
При последовательном соединении элементов система будет находиться в состоянии полной работоспособности только в том случае, когда оба элемента работают. Поэтому вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух последовательно соединенных элементов
,
а вероятность ее отказа
.
При параллельном соединении тех же элементов система будет находиться в состоянии отказа только в том случае, когда оба элемента отказали.
Тогда
;
Предположим 
. Величина 
, а 
. Таким образом, для принятых расчетных условий при переходе от последовательного к параллельному соединению элементов надежность электроснабжения повышается в 3 раза (т.к. 
). Существующие системы электроснабжения состоят из большого количества элементов, которые могут отличаться друг от друга не только своими характеристиками надежности, но и другими техническими характеристиками (например, пропускной способностью элементов и т.д.). Поэтому анализ различных состояний систем, и следовательно, вычисление показателей надежности будут связаны с большими трудностями.
|
|
|
Для того, чтобы облегчить решение задачи определения показателей надежности для сложных систем электроснабжения разобьем систему на простейшие структуры, представляющие собой последовательное или параллельное соединение элементов. Характерным свойством таких структур является то, что путем конечного числа операций эквивалентного преобразования (приведения) простейших последовательных и параллельных соединений эти структуры могут быть сами сведены к одному эквивалентному элементу.
Составим произведение I биномов
.
Или короче
.
Где 
- произвольный параметр;
- пропускная способность (или мощность) -го элемента;
- номер состояния рассматриваемой структуры, состоящей из I элементов;
- пропускная способность (или мощность) структуры для ее -го состояния.
При перемножении биномов над показателями степени при z производится операция F. При последовательном соединении элементов
.
При параллельном соединении
.
|
|
|
Полученная в результате эквивалентирования для рассматриваемой схемы универсальная производящая функция может быть использована для определения показателей надежности. Так, например, вероятность безотказной работы системы определяется следующим образом
,
где
Рассмотрим в качестве примера систему электроснабжения, структура которой представлена на рис. 6.3.
Рис. 6.3. Пример приводимой структуры. Значения параметров элементов и системы: 
.
Обозначим через 
структурную функцию для последовательного соединения элементов, а через 
- структурную функцию для параллельного соединения.
Структурная функция для рассматриваемой схемы примет следующий вид
.
Операцию преобразования производящих функций 
при последовательном соединении обозначим 
, а при параллельном - 
.
Раскроем последовательно выражение для универсальной производящей функции
Таким образом, в результате эквивалентирования систему, содержащую четыре элемента, заменили на систему с одним эквивалентным элементом, который может находиться в четырех состояниях Пропускная способность системы (или эквивалентного элемента)- 
может принимать значения 4, 3, 2, 0 соответственно с вероятностью 0,0625; 0,0625; 0,0625 и 0,8125. Очевидно, бездефицитное состояние системы будет в том случае, когда пропускная способность системы не меньше ее нагрузки. Если нагрузка системы 
, то с учетом выражения (6.8) получим
.
Тогда вероятность безотказной работы
.
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 332; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!