Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание по­стоянной величины равно самой постоянной:

М(С) = С.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак математического ожидания:

М(СХ) = СМ(Х).

Свойство 3. Математическое ожидание произведе­ния двух независимых случайных величин равно произведе­нию их математических ожиданий:

М (XY) = М (X) М (Y).

 

Следствие. Математическое ожидание произведе­ния нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

 

Пример 1. Независимые случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X    5    2    4        К  7    9

р  0,6 0,1 0,3       р  0,8 0,2

Найти математическое ожидание случайной величины XY.

Решение. Найдем математические ожидания каждой изданных величин:

М(Х) = 5 ∙ 0,6 + 2 ∙ 0,1 +4 ∙ 0,3 = 4,4; М (К) = 7 ∙ 0,8 + 9 ∙ 0,9 = 7,4.

Случайные величины X и Y независимые, поэтому искомое ма­тематическое ожидание

М (XY) = М (X) ∙ М (У) = 4,4 ∙ 7,4 = 32,56.

 

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М (X + Y) = М (X) + М (Y).

Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математичес­ких ожиданий слагаемых.

 

Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными р₁=0,4; р₂ = 0,3 и p₃ = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий.

Решение. Число попаданий при первом выстреле есть слу­чайная величина X_l, которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р₁=0,4 и 0 (промах) с вероятностью q = 1—0,4 = 0,6.

Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания, т. е. М(Х) = 0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий при втором и третьем выстрелах: М (Х₂) = 0,3, М (Х₃) = 0,6.

Общее число попаданий есть также случайная величина, состоя­щая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов.

Искомое математическое ожидание находим по теореме о мате­матическом, ожидании суммы:

М (Х) = М(Х₁ + Х₂ + Х₃) = М (X₁) + M (Х₂) + М (Х₃) = 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3 (попаданий).

 

Теорема. Математическое ожидание М (X) числа по­явлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М ( X ) = пр.

Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины

Наряду с математическим ожиданием вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того чтобы оценить, как рассеяны возможные зна­чения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характе­ристикой, которую называют дисперсией.

Прежде чем перейти к определению и свойствам дис­персии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной ве­личиной и ее математическим ожиданиям.

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[Х—М(Х)] = 0.

 

Название «центрированная величина» связано с тем, что математиче­ское ожидание есть центр распределения

 

Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее сред­него значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной вели­чины называют математическое ожидание квадрата откло­нения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X—M(X)]²

 

Т.к. вычисления по этой формуле получаются громоздкими, то для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:

D ( X ) = M ( X ² ) — [М ( X )]².

Пример 1. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

X    2    3    5

Р   0,1 0,6 0,3

Решение.

Найдем математическое ожидание М (X):

М (Х) = 2 ∙ 0,1 +3 ∙ 0,6 + 5 ∙ 0,3 = 3,5.

Напишем закон распределения случайной величины Х²:

X²  4    9 25

Р  0,1 0,6 0,3

Найдем математические ожидания М (X²):

М (X^s) = 4 ∙ 0,1 +9 ∙ 0,6 + 25 ∙ 0,3= 13,3.

Искомая дисперсия

D (Х) = М (X²)—[М (Х)]²= 13,3 —(3,5)²= 1,05.

 

Свойства дисперсии

Свойство  1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю;

D(C) = 0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выно­сить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX) = C²D(X).

Свойство   3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X — Y) = D(X) + D(Y).

 

---

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 199; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!