Классическое определение вероятности
Министерство образования и науки Украины
Индустриальный техникум ДонГТУ
Конспект
лекций по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
для специальности 5.080405 «Программирование для ЭВМ и автоматизированных систем»
Алчевск
2006
Составил преподаватель первой категории
_______________Л.Л. Кузьмина
Рассмотрено и одобрено на заседании предметной (цикловой) комиссии
Информатики и компьютерной техники
Протокол №_____ от “____”______________2006р.
Председатель комиссии
_____________Л.Л. Кузьмина
Лекция № 1
Тема: «Понятие вероятности. Элементы комбинаторики»
План лекции
1. Испытания и события. Виды случайных событий.
2. Классическое определение вероятности
3. Основные формулы комбинаторики
4. Примеры непосредственного вычисления вероятностей
Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий 5. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.
|
|
|
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб»—случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет,—она просто не в силах это сделать.
Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.
|
|
|
Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел—это испытание. Попадание в определенную область мишени —событие.
Пример 2. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета—событие.
Виды случайных событий
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пример 1. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» — несовместные.
Пример 2. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» — несовместные.
Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий годной группы есть достоверное событие если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
|
|
|
Пример 3. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.
Пример 4. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример 5. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты—равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.
Пример 6. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости — равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.
|
|
|
Классическое определение вероятности
Вероятность—одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим.
Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом (элементарным событием). Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой
,
где m— число элементарных исходов, благоприятствующих А; n — число всех возможных элементарных исходов испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0<m/n<1, следовательно,
0 < Р(A) < 1.
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
0 < Р(А) < 1.
Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятности других событий.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 165; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!