Замена переменной в определенном интеграле
Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла. Таким образом, если с заменами у Вас не очень, следует внимательно ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле.
В этом параграфе нет ничего страшного или сложного. Единственная новизна состоит в вопросе, как поменять пределы интегрирования при замене.
В примерах я постараюсь привести такие типы замен, которые еще нигде не встречались на сайте.
Пример 5
Вычислить определенный интеграл
Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм: 
. Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем 
, а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.
Сначала готовим наш интеграл к замене:
Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: 
Таким образом, в знаменателе будет всё хорошо: 
.
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть 
подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал 
:
По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап.
Находим новые пределы интегрирования.
Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену и старые пределы интегрирования 
, 
.
|
|
|
Сначала подставляем в выражение замены нижний предел интегрирования, то есть, ноль:
Потом подставляем в выражение замены верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:
Готово. И всего-то лишь…
Продолжаем решение.
Пример 6
Вычислить определенный интеграл
Пример 7
Вычислить определенный интеграл
Пример 6: Решение:
Проведем замену переменной: 
,
Новые переделы интегрирования:
Примечания: В рассмотренном интеграле – как раз тот случай, когда уместно применить свойство определенного интеграла 
.
Если не совсем понятно, почему из арктангенса можно вынести минус, рекомендую обратиться к методическому материалу Графики и свойства элементарных функций.
Пример 7: Решение:
Замена: 
Новые пределы интегрирования:
Пример 9: Решение:
Интегрируем по частям:
Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры
Начнем с криволинейной трапеции.
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью 
,прямыми 
, 
и графиком непрерывной на отрезке 
функции 
, котораяне меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:
|
|
|
Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу 
. У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.
То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл 
. Подынтегральная функция 
задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
, 
.
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):
|
|
|
Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке 
график функции расположен над осью , поэтому:
Ответ: 
Пример 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
и осью
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не вышеданной оси), то её площадь можно найти по формуле: 
В данном случае:
Ответ: 
Пример 7
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, , 
.
Решение: Сначала выполним чертеж:
…Эх, чертеж хреновенький вышел, но вроде всё разборчиво.
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:
|
|
|
1) На отрезке 
над осью расположен график прямой ;
2) На отрезке 
над осью расположен график гиперболы .
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ: 
Преобразования графиков
Зная, как строить графики функции y = f(x), гдеy = kx + b, y = ax2, y = xn , y=xk, y = sin x, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, y=ax 
y=logax , можно построить график функции y = af(kx + b) + m.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 209; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!