Движение частицы сквозь потенциальный барьер

Пусть энергия W микрочастицы меньше энергии некоторого потенциального барьера .

В классической физике частица пройдет над барьером, если ее энергия больше энергии потенциального барьера W > U. Если энергия частицы меньше энергии барьера W < U, то частица останется в области 1 (см. рис. 20.6.1).

В квантовой физике микрочастица может пройти в область 3, расположенную за барьером, даже если ее энергия меньше энергии барьера. Этот вывод получается математически из решения уравнения Шрёдингера. Пусть частица находится в области 1. Ширина потенциального барьера равна . Запишем значения потенциальной энергии микрочастицы для различных областей

В областях 1 и 3 барьера нет, поэтому энергия барьера равна нулю U = 0. Для разных областей запишем уравнения Шрёдингера (20.4.4) и волновые функции. Для области 1

, где ;

коэффициент А₁ определяет вероятность движения частицы к барьеру, а коэффициент В₁ - вероятность движения от барьера влево. Аналогично для области 3 уравнение Шредингера имеет тот же вид, а волновая функция равна

коэффициент В₃= 0, т.к. частица в области 3 влево не движется. Коэффициент А₃ характеризует вероятность движения частицы вправо в области 3.

Для области 2 можно записать

, где ,

Коэффициент прозрачности барьера равен отношению плотности потока частиц, падающих на барьер, к плотности потока частиц, прошедших сквозь барьер. Коэффициент прозрачности рассчитывают по формуле

Для расчета коэффициента прозрачности применяют условия непрерывности для пси-функции, и ее производной на границах барьера х = 0 и х =

; ;

; .

Решая уравнения, получают коэффициент прозрачности

. (20.6.1)

ЗдесьD₀ — постоянный множитель, который можно считать равным единице. Из выражения (20.6.1) следует, что D зависит от массы частицы т, от энергии(U — W) и от ширины барьера l . Чем больше ширина барьера l, тем меньше вероятность прохождения частицы сквозь барьер.

Очевидно , т.е. частица может «пройти» сквозь потенциальный барьер!

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер называется туннельным эффектом, который осуществляется при таких явления как α-распад ядер, термоядерная реакция, процессы в контактном слое двух полупроводников. Туннельный эффект является квантовым эффектом.

Лекция 21

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Спин и статистика

Элементарные частицы, атомы, молекулы делят на два класса: бозоны и фермионы.

Спин (собственный механический момент импульса) микрочастицы равен

=ħ ,

где s-спиновое квантовое число или спин.

Частицы с полуцелым спином (1/2, 3/2, 5/2 и т.д.) называются фермионами. К фермионам относятся электрон, протон, нейтрон, нейтрино, т.к. их спин равен ½.

Частицы с целым спином (0, 1, 2 и т.д.) называются бозонами. К бозонам относятся: фотон (спин равен единице), π-мезон, К-мезон (спин равен нулю).

В квантовой механике состояние микрочастицы характеризуется тремя координатами x , y , z и тремя проекциями импульса p_x , p_y , p_z, т.е. шестью переменными. Состояние системы из частиц N характеризуют 6N переменных. Вводят 6N -мерное пространство, которое называется фазовым пространством. Каждое состояние системы представляет собой точку в этом 6N -мерном пространстве. Разбивают фазовое пространство на элементарные ячейки объемом

здесь q - координаты частиц. В квантовой механике получают, что фазовый объем элементарной ячейки не может быть меньше h³, где h- постоянная Планка.

Вероятность состояния системы dW определяется с помощью функции распределения f ( q , p )

dW = f ( q , p ) dq dp .

Функция распределения представляет собой плотность вероятности состояния системы

f ( q , p ) = dW / ( dq dp )

и она нормирована на единицу

∫ f ( q , p ) dq dp = 1.

Среднее значение любой физической величины можно рассчитать с помощью функции распределения

< K ( q , p ) >=∫ K ( q , p ) ( f ( q , p ) dq dp .

В твердом теле содержится большое количество одинаковых частиц, например электронов. Эти частицы называются тождественными, если имеют одинаковые физические характеристики. В квантовой механике существует принцип неразличимости тождественных частиц.

Состояние частицы в квантовой механике характеризует волновая функция. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции. Принцип неразличимости тождественных частиц математически можно записать с помощью волновой функции в виде

, (21.1.1)

здесь и -это величины, характеризующие пространственные и спиновые координаты. Из формулы (21.1.1) получаем

Если при перестановке частиц местами волновая функция не меняет знак, то она называется симметричной, а если знак изменяется, волновая функция - антисимметричная. Свойство симметрии волновой функции не зависит от времени, а определяется спином частиц. Частице с полуцелым спином соответствует антисимметричная волновая функция. Эти частицы называются фермионами, т.к. подчиняются статистике Ферми-Дирака

здесь - среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией , Т - температура газа, μ - химический потенциал, k - постоянная Больцмана.

Для фермионов выполняется принцип Паули: в системе, состоящей из тождественных фермионов, любые два из них не могут находиться одновременно в одном и том же состоянии, т.е. все квантовые числа двух фермионов не могут быть одинаковыми.

Частицы с целым спином характеризуются симметричными волновыми функциями и называются бозонами, т.к. подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна

. (21.1.2)

Число бозонов, находящихся в одном состоянии, не ограничено.

При высоких температурах газ из фермионов и газ из бозонов ведут себя как классический идеальный газ и оба распределения переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

где .

Газ называется вырожденным, если его свойства отличаются от классического газа. Ферми-газ и бозе-газ являются квантовым системами, значит вырожденными, что наблюдается при низких температурах и высокой плотности.

Температурой вырождения (Т_в) называется температура, ниже которой проявляются квантовые свойства. При температуре выше температуры вырождения Т >> Т_в газ из частиц становится классическим.

Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 204; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 36 37 38 39 404142 43 44 45 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!