Соотношение неопределенностей Гейзенберга
1. В классической механике всегда одновременно можно измерить координату и импульс (скорость) тела. Для микрочастицы это сделать невозможно.
Для микрочастиц выполняется соотношение неопределенностей Гейзенберга (1927 г.)
ħ (20.2.1)
Произведение неопределенности координаты (∆х) на неопределенность проекции импульса ( 
) не меньше постоянной Планка.
Здесьħ = h/2π - постоянная Планка.
При точном измерении координаты погрешность ее измерения стремится к нулю ∆х → 0, тогда неопределенность импульса
стремится к бесконечности, значит точно измерить импульс нельзя.
При точном измерении импульса его неопределенность стремится к нулю → 0, тогда неопределенность координаты
стремится к бесконечности, значит точно измерить координату нельзя.
Выведем соотношение неопределенностей для дифракции электрона .
Электроны движутся через щель шириной 
(рис. 20.2.1). Под углом 
наблюдается первый дифракционный минимум, для которого можно записать
.
Справа от экрана представлен график распределения интенсивности электронов на экране при дифракции. Для данного случая учитываем, что ширина щели равна 
и для первого минимума порядок спектра 
, получаем
. (20.2.2)
Обозначим р импульс электрона, проходящего через щель в направлении первого минимума.
|
|
|
Из чертежа для проекции импульса электрона на ось Х можно записать
. (20.2.3)
Из формулы (20.2.2) определим синус угла и подставим его в формулу (20.2.3)
. (20.2.4)
Импульс электрона находим из формулы длины волны де Бройля
,
подставим его в формулу (20.2.4), получим
; 
или
. (20.2.5)
Для электронов, попадающих на экран дальше первого минимума, можно записать
.
Проводя расчеты аналогичные предыдущему случаю, получим
. (20.2.6)
Объединяя обе формулы (20.2.5) и (20.2.6), можно записать соотношение неопределенностей для импульса и координаты
.
Постоянная Планка h > ħ, т.к. ħ = 
, поэтому опять выполняется соотношение (20.2.1).
Рассмотрим пример 3. Электрон в атоме движется со скоростью
~106 м/с в области 
~10-10м.
Вычислим неопределенность измерения скорости электрона
= 
~106 м/с.
Получили, что неопределенность скорости (погрешность измерения) и само значение скорости электрона одинаковы, значит, скорость электрона точно измерить одновременно с координатой нельзя.
|
|
|
При движении частицы в пространстве соотношение неопределенностей можно записать в виде
ħ; 
ħ; 
ħ.
Физический смысл соотношения неопределенностей заключается в том, что оно устанавливает границы применимости классической механики: для микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул) необходимо применять законы квантовой механики.
2. Соотношение неопределенностей для энергии и времени записывают в следующем виде:
ħ.
Произведение неопределенности энергии 
системы в момент измерения на неопределенность длительности процесса измерения 
не меньше постоянной Планка.
Если среднее время жизни частицы , то в течение этого времени частица может иметь разные значения энергии Е, т.е. может находиться в атоме в разных состояниях. Интервал неопределенности значения энергии равен 
.
За разработку квантовой механики В. Гейзенбергу присуждена Нобелевская премия по физике(1932 г.).
Волновая функция
В квантовой механике состояние частицы характеризует волновая функция, которая зависит от координат и времени
.
Свойства 
- функции (пси-функции): она является однозначной непрерывной и конечной функцией.
|
|
|
-функция может принимать действительные и мнимые значения.
Мнимые величины не имеют физического смысла, т.е. в природе не наблюдаются. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции
,
квадрат модуля волновой функции 
показывает вероятность обнаружить частицу в объеме dV.
Определим вероятность нахождения частицы в объеме V
; 
; 
.
Если достоверно известно, что микрочастица находится в объеме V, то вероятность найти ее там равна единице W = 1 (100 %)
= 1, (20.3.1)
выражение (20.3.1) называется условием нормировки волновой функции. Условие нормировки выражает факт существования частицы .
Уравнение Шрёдингера
Уравнение движения микрочастицы в квантовой механике было получено Э. Шрёдингером (1926 г.).
Запишем волновое уравнение для пси-функции
, (20.4.1)
где υ - скорость волн де Бройля.
Решением волнового уравнения является уравнение волны
.
Возьмем вторую производную по времени от пси-функции
. (20.4.2)
|
|
|
Подставим формулу (20.4.2) в волновое уравнение (20.4.1)
. (20.4.3)
Заменим круговую частоту
и подставим ее в уравнение (20.4.3)
.
Кинетическая энергия микрочастицы равна
,
где W - полная энергия, U - потенциальная энергия микрочастицы.
Проводя замену, получаем
.
Уравнение Шрёдингера для движущейся микрочастицы
. (20.4.4)
Если частица движется в пространстве, то уравнение Шрёдингера для стационарных состояний записывают в виде
,
здесь оператор Лапласа Δ означает
.
Уравнение Шрёдингера применяют для исследования движения частиц с малыми скоростями. В случае релятивистского движения микрочастиц необходимо использовать уравнение Дирака. В 1933 г. за создание волновой механики Э. Шрёдингеру и П. Дираку присуждена Нобелевская премия по физике.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 844; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!