Система оценивания экзаменационной работы единого государственного экзамена по математике
Ответы к заданиям 1–12
Каждое из заданий 1–12 считается выполненными верно, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Каждое верно выполненное задание оценивается 1 баллом.
| Номер задания | Ответ |
| 1 | 186 |
| 2 | 16 |
| 3 | 10 |
| 4 | 0,8 |
| 5 | 5 |
| 6 | 25 |
| 7 | 2 |
| 8 | 27 |
| 9 | 4 |
| 10 | 25 |
| 11 | 8 |
| 12 | 20 |
Решения и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом 13–19
| 13 |
а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде
.
При 
уравнение не имеет корней. При 
уравнение принимает вид:
; 
.
Значит, 
или 
, и оба корня удовлетворяют условию .
б) Заметим, что 
.
Значит, указанному отрезку принадлежит корень 2.
Ответ: а) 2; 5; б) 2.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| 14 |
|
|
|
В правильном тетраэдре 
точка 
— центр грани 
, а точка 
— середина ребра 
.
а) Докажите, что прямые 
и перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми 
и 
.
Решение.
|
а) Отрезки 
и являются медианами
в равносторонних треугольниках 
и 
соответственно, поэтому прямая перпендикулярна этим отрезкам, а значит, и плоскости 
. Следовательно, прямые и перпендикулярны.
б) Пусть 
— середина ребра , а 
— середина отрезка 
. Тогда 
— средняя линия треугольника 
, поэтому искомый угол равен углу 
, а угол 
прямой.
Обозначим ребро тетраэдра через 
. Тогда имеем:
; 
; 
; 
; 
; 
.
Ответ: б) 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б, возможно, с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| 15 |
Решите неравенство 
.
|
|
|
Решение.
Запишем исходное неравенство в виде:
; 
; 
,
откуда 
; 
.
Ответ: 
; 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек  и / или 3,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
| 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| 16 |
Точка 
— середина стороны 
квадрата . Серединные перпендикуляры к отрезкам 
и 
пересекаются в точке 
.
а) Докажите, что 
.
б) Найдите 
.
Решение.
|
а) Точка является центром окружности, описанной около треугольника 
, поэтому
.
б) Прямая 
является серединным перпендикуляром
к отрезку 
, поэтому точка лежит на этой прямой.
Пусть точка 
— середина отрезка . Тогда 
. Прямоугольные треугольники 
и подобны, поэтому
.
Значит, 
.
Ответ: б) 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а, ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
|
|
|
| 17 |
Зависимость объёма 
(в шт.) купленного у фирмы товара от цены 
(в руб. за шт.) выражается формулой 
, 
. Доход
от продажи товара составляет 
рублей. Затраты на производство единиц товара составляют 
рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на 20%, однако её прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
Решение.
Прибыль фирмы выражается как
|
|
|
,
то есть квадратично зависит от цены . Пусть первоначальная цена равнялась 
. После снижения цена стала равняться 
. Наибольшая прибыль достигается при значении , для которого 
достигает максимума. График функции 
— парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому максимум достигается в вершине параболы. Поскольку 
, вершина параболы находится
в точке 
. Значит, нужно увеличить цену с до 
, то есть на 12,5%.
Ответ: 12,5.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано | 2 |
| Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
| 18 |
Найдите все значения 
, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение.
Рассмотрим функцию 
. Её минимальное значение равно 2 и достигается при 
.
Исходное уравнение принимает вид
.
Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда
и только тогда, когда двойное неравенство 
имеет решения.
Заметим, что множество значений выражения 
это 
; 
при 
и 
; 
при 
.
Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень
при 
.
Ответ: .
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек  и / или 
| 3 |
| Задача обоснованно сведена к решению двойного неравенства
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения
| 2 |
| Получено множество значений функции
| 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
| 19 |
а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?
Решение.
а) Например, если из числа 123456789 вычеркнуть цифры 2, 7 и 9,
то получится число 134568, кратное 72.
б) Предположим, что можно вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72.
Если число кратно 72, то оно чётное. Значит, цифры 7, 5, 3 и 1 должны быть вычеркнуты. Получается число 84692. Оно не кратно 72, поэтому из него надо вычеркнуть цифры так, чтобы получилось число, кратное 72. Значит, сумма оставшихся цифр должна делиться на 9, то есть сумма вычеркнутых цифр должна быть равна 2, 11 или 20. Это возможно, только если вычеркнуть или 2, или 2 и 9, или 2, 4, 6 и 8. Ни одно из получающихся чисел: 8469,
846, 9 — не делится на 72.
в) Заметим, что все цифры числа 124875963 различны и не равны нулю.
Если вычеркнуть из исходного числа 8 или 7 цифр, то получится число, меньшее 100. Среди таких чисел только 72 делится на 72, но его нельзя получить при вычёркивании цифр из исходного числа.
Если вычеркнуть из исходного числа 6 цифр, то получится трёхзначное число. Среди трёхзначных чисел, все цифры в которых различны и не равны нулю, на 72 делятся только следующие: 216, 432, 576, 648, 792, 864, 936.
Ни одно из них не получается при вычёркивании из числа 124875963 нескольких цифр.
Значит, нельзя вычеркнуть более 5 цифр так, чтобы получившееся число было кратно 72. Пять цифр вычеркнуть можно. Например, если вычеркнуть цифры 4, 8, 7, 5 и 3, то получится число 1296, кратное 72.
Ответ: а) да; б) нет; в) 5.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а, б и в | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в и обоснованно получен верный ответ в пунктах а или б | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пунктах а или б | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 174; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!