Решения и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом
Алгебра и начала анализа
| 89 |
а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение.
|
а) Пусть 
, тогда исходное уравнение запишется в виде 
; 
; 
, откуда 
; 
, 
.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
.
Получим числа: 
; 
.
Ответ: а) 
, 
;
Ответ: б) 
; .
| 90 |
а) Решите уравнение 
.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение.
а) Имеем:
; 
; 
откуда 
, 
; 
, 
; 
, 
.
|
б) Корни, принадлежащие отрезку 
, отберём с помощью единичной окружности.
Получаем: 
; 
; 
.
Ответ: а) 
, 
; 
, 
; 
,
Ответ: 
;
Ответ: б) ; ; .
| 91 |
а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
; 
.
Значит, 
, откуда 
, , или 
, 
.
Уравнение 
корней не имеет.
|
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
.
Получим число 
.
Ответ: а) 
, ; 
, 
;
Ответ: б) .
| 92 |
а) Решите уравнение
.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение.
а) Запишем исходное уравнение в виде:
; 
.
Значит, или , откуда 
, 
, или 
, 
, или 
, откуда 
, 
, или 
, 
.
|
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку 
.
Получим числа: 
; 
; 
.
Ответ: а) 
, 
; 
, ;
Ответ: 
, ; 
, 
;
Ответ: б) ; ; .
|
|
|
| 93 |
а) Решите уравнение 
.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
.
Решение.
а) Преобразуем уравнение:
;
;
или 
;
; 
; 
, 
.
|
б) Используя тригонометрическую окружность, отберём корни, лежащие на промежутке 
. Получим числа: 
, 
, 
, 
.
Ответ: а) 
, ; 
, 
;
, 
;
Ответ: б) , , , .
Критерии оценивания заданий 89–93
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| 94 |
Решите неравенство 
.
Решение.
Пусть 
, тогда неравенство примет вид:
; 
,
откуда 
; 
.
При получим: 
, откуда 
.
При получим: 
, откуда 
.
Решение исходного неравенства: 
; .
Ответ: 
; 
.
| 95 |
Решите неравенство 
.
Решение.
Пусть 
, тогда неравенство примет вид:
; 
; 
,
откуда 
; 
.
При получим: 
, откуда 
.
При 
получим: 
, откуда 
.
Решение исходного неравенства: 
; .
|
|
|
Ответ: 
; 
.
Критерии оценивания заданий 94 и 95
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного включением / исключением граничных точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| 96 |
Решите неравенство 
.
Решение.
Пусть 
, тогда неравенство примет вид:
; 
,
откуда 
; 
; 
.
При 
получим: 
, откуда 
.
При 
получим: 
, откуда 
.
При 
получим: 
, откуда 
.
Решение исходного неравенства:
; 
; .
Ответ: 
; 1; 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| 97 |
Решите неравенство 
.
Решение.
Заметим, что 
при любых значениях 
. Значит, выражение 
положительно при 
, отрицательно
при 
и не определено при 
и 
.
|
|
|
При 
выражение 
отрицательно, а при 
исходное неравенство равносильно неравенству 
, откуда 
.
Таким образом, решение исходного неравенства:
; 
.
Ответ: 
; 
.
| Содержание критерия | Баллы |
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки  ,
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
| 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| 98 |
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей
на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 1,25 млн рублей?
Решение.
Пусть кредит планируется взять на 
лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
|
|
|
9, 
, …, 
, 
, 0.
По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
11,25, 
, …, 
, 
.
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
, 
, …, 
, 
.
Получаем: 
, откуда 
. Значит, всего следует выплатить:
(млн рублей).
Ответ: 20,25 млн рублей.
| 99 |
Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 
часов в неделю, то за эту неделю они производят
единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят
единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему
500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю
на этих двух заводах?
Решение.
Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся
часов, а на заводе, расположенном во втором городе, — 
часов. Тогда
в неделю будет произведено 
единиц товара, а затраты на оплату труда составят 
рублей. В этом случае нужно найти наибольшее значение 
при условии 
.
Выразим 
через 
:
; 
; 
Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции
при 
. Для этого найдём производную функции 
:
.
Найдём точки экстремума:
; 
;
; 
; 
,
то есть 
— единственная точка экстремума, удовлетворяющая условию 
. Найдём значения функции в найденной точке и на концах отрезка:
, 
, 
.
Наибольшее значение 
равно 500, значит, наибольшее количество единиц товара равно 500.
Ответ: 500.
| 100 |
Вклад в размере 10 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером
в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на одну и ту же фиксированную сумму, равную целому числу миллионов рублей. Найдите наибольший возможный размер такой суммы, при котором через четыре года вклад останется не больше 25 млн рублей.
Решение.
В конце первого года вклад составит 11 млн рублей, а в конце второго — 12,1 млн рублей. Пусть искомая сумма равна 
(млн рублей). Тогда в начале третьего года вклад составит 
, а в конце — 
. В начале четвёртого года вклад составит 
, а в конце — 
.
По условию, нужно найти наибольшее целое , для которого выполнено неравенство
; 
.
Наибольшее целое решение этого неравенства — число 4. Значит, искомая сумма — 4 млн рублей.
Ответ: 4 млн рублей.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 213; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!