Критерий оценивания заданий 21–26.
| Содержание критерия | Баллы |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
| 27 |
Точки 
и 
— соответственно середины сторон 
и 
квадрата 
. Отрезки 
и 
пересекаются в точке 
.
а) Докажите, что около четырёхугольника 
можно описать окружность.
б) Найдите 
, если сторона квадрата равна 1.
Решение.
|
а) Прямоугольные треугольники 
и 
равны
по двум катетам. Значит,
,
то есть прямые 
и перпендикулярны. Значит,
в четырёхугольнике 
углы 
и 
прямые, поэтому около него можно описать окружность.
б) Прямоугольные треугольники и равны
по двум катетам, значит,
,
то есть на хорды и 
описанной около четырёхугольника 
окружности опираются равные углы. Таким образом, 
.
Ответ: б) 1.
| 28 |
Дана равнобедренная трапеция 
с основаниями 
и 
Окружность
с центром 
построенная на боковой стороне 
как на диаметре, касается боковой стороны и второй раз пересекает большее основание в точке 
точка 
— середина 
а) Докажите, что четырёхугольник 
— параллелограмм.
|
|
|
б) Найдите 
если 
и 
.
Решение.
|
а) Треугольник 
равнобедренный, и трапеция 
равнобедренная, поэтому
Значит, прямые 
и параллельны, а так как
— средняя линия трапеции, то параллельны прямые и 
Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, следовательно, — параллелограмм.
б) Пусть окружность с центром в точке 
радиусом 
касается стороны 
в точке 
В прямоугольных треугольниках 
и 
:
, 
.
Поэтому 
.
Пусть 
Поскольку трапеция 
равнобедренная,
; 
.
Тогда 
,
откуда 
. Значит, 
.
Ответ: б) 3.
| 29 |
Точка 
лежит на стороне 
выпуклого четырёхугольника , причём 
и 
— вершины равнобедренных треугольников с основаниями 
и 
соответственно, а прямые и 
перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах 
и 
четырёхугольника пересекаются на стороне .
б) Пусть 
— точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника , если известно, что 
, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых 
и 
равна 18.
Решение.
|
а) Пусть 
— середина отрезка 
Треугольник 
равнобедренный, поэтому отрезок 
является в нём медианой, биссектрисой и высотой. Поскольку прямые и перпендикулярны, прямая 
содержит среднюю линию треугольника 
, то есть проходит через середину стороны Аналогично, биссектриса угла 
тоже проходит через середину стороны Следовательно, биссектрисы углов и четырёхугольника пересекаются
на стороне
|
|
|
б) Пусть прямые и пересекаются в точке 
а прямые 
и 
— в точке 
. Тогда четырёхугольник 
— прямоугольник. Площадь треугольника
.
Аналогично, 
Площадь треугольника
.
Тогда 
.
Ответ: б) 96.
| 30 |
Точки 
, 
и 
— середины сторон соответственно 
, 
и остроугольного треугольника 
.
а) Докажите, что отличная от точка пересечения окружностей, описанных около треугольников 
и 
, лежит на окружности, описанной около треугольника 
.
б) Известно, что 
и 
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются центры окружностей, вписанных в треугольники , и .
Решение.
а) Пусть — отличная от точка пересечения окружностей, описанных около треугольников и  (рис. 1). Тогда
 ,
 ,
откуда
Значит,
 ,
следовательно, точки  , , и лежат на одной окружности.
| 
|
б) Пусть  ,  и  — центры окружностей, вписанных в треугольники , и соответственно (рис. 2). Заметим, что  ,  как одинаковые элементы в равных треуголь-никах. Значит, треугольники  и  равны. Кроме того, треугольник  также равен этим треугольникам, поскольку
 .
Таким образом,  .
| 
|
Аналогично, 
, 
, поэтому треугольник 
подобен треугольнику с коэффициентом 
и радиус описанной около него окружности равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника .
|
|
|
Пусть  — середина , а  и  соответственно центр и радиус окружности, описанной около треугольника  (рис. 3). Тогда высота равнобедренного треугольника равна  , поэтому из прямоугольного треугольника  получаем:
 ;  ;
 ;  .
Искомый радиус равен  .
| 
|
Ответ: б) 
.
Дата добавления: 2019-09-13; просмотров: 146; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!