Критерии оценивания заданий 98–100

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 11Следующая ⇒

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, и получен результат: — неверный ответ из-за вычислительной ошибки; — верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

101

Найдите все значения , при каждом из которых система неравенств

имеет хотя бы одно решение.

Решение.

Заметим, что при и при . Поэтому первое неравенство системы равносильно двойному неравенству при и равносильно двойному неравенству при . При получаем:

; ; ,

откуда . При исходная система принимает вид:

откуда .

При любом выполнено неравенство , поскольку . Поэтому при исходная система равносильна системе

Из этой системы следует, что , откуда . Заметим, что максимальное значение функции на отрезке равно 4,
а минимальное значение функции равно . Значит, выполнено неравенство . Кроме того при больший корень уравнения удовлетворяет системе неравенств, поскольку функция принимает на отрезке все значения от
до 4, и её значения в каждой точке отрезка не превосходят значений функции . Таким образом, исходная система неравенств имеет хотя бы одно решение при и .

Ответ: ; .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек и / или	3
С помощью верного рассуждения получен промежуток множества значений a, возможно, с исключением граничных точек, или точка ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Верно построено множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств, ИЛИ обоснованно получено множество значений параметра или	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

102

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Запишем первое уравнение в виде

При и левая часть не имеет смысла. При уравнение задаёт прямые , , (см. рисунок).

При каждом значении уравнение задаёт прямую, параллельную прямой или совпадающую с ней. При такая прямая пересекает прямую при , пересекает прямую при , пересекает прямую при любом значении . При этом прямые проходят через точки пересечения прямых , и при , и .

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения прямых , , с прямой при условии . Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при ; ; .

Ответ: ; ; .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением/исключением точек и/или	3
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: или , возможно, с включением/исключением граничных точек	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения прямых (аналитически или графически), ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

103

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая.

1) Если , то получаем уравнение

;

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом 1.

2) Если , то получаем уравнение

; ; .

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке
и радиусом .

Полученные окружности пересекаются в двух точках — и , лежащих на окружности , поэтому в первом случае получаем дугу
с концами в точках и , во втором — дугу с концами в тех же точках (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую , которая проходит через точку и угловой коэффициент которой равен .

При прямая проходит через точки и , то есть исходная система имеет два решения.

При прямая перпендикулярна прямой , угловой коэффициент которой равен , значит, прямая касается дуги в точке и пересекает дугу в двух точках (одна из которых — точка ), то есть исходная система имеет два решения.

При прямая пересекает каждую из дуг и в точке и ещё
в одной точке, отличной от точки , то есть исходная система имеет три решения.

При прямая не пересекает дуги и в точках, отличных
от точки , то есть исходная система имеет одно решение.

При или прямая пересекает дугу в двух точках и не пересекает дугу в точках, отличных от точки , то есть исходная система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет более двух решений при .

Ответ: .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически), ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

104

Найдите все значения , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три различных решения.

Решение.

Запишем первое уравнение в виде

При левая часть не имеет смысла.
При уравнение задаёт прямую
и гиперболу (см. рисунок).

При каждом значении уравнение задаёт прямую, параллельную прямой или совпадающую с ней.

При такая прямая пересекает прямую при любом значении , пересекает правую ветвь гиперболы при , пересекает левую ветвь гиперболы при любом значении . При этом прямая проходит через точку пересечения прямой и гиперболы
при .

Число решений исходной системы равно числу точек пересечения
прямой и гиперболы с прямой при условии .

Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при

; .

Ответ: ; .

Содержание критерия	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки	3
С помощью верного рассуждения получен один из промежутков множества значений a: или , возможно, с включением граничных точек	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения гиперболы и прямых (аналитически или графически), ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

105

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем — среднее арифметическое полученного результата
и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата
и четвёртого числа и в конце — среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число .

а) Может ли число равняться среднему арифметическому изначальных пяти чисел?

б) Может ли число быть больше среднего арифметического изначальных пяти чисел в 5 раз?

в) В какое наибольшее целое число раз число может быть больше среднего арифметического изначальных пяти чисел?

Решение.

а) Например, для чисел 1, 3, 8, 11 и 2 число равно их среднему арифметическому.

б) Пусть изначальные числа равны , , , и . Тогда , а среднее арифметическое этих чисел равно . Если число больше среднего арифметического в 5 раз, то

; ,

откуда , что невозможно.

в) Предположим, что число в раз больше среднего арифметического пяти чисел, тогда

; ,

откуда , что невозможно при .

Для чисел 1, 3, 4, 7 и 35 число вдвое больше их среднего арифметического.

Таким образом, число может быть вдвое больше среднего арифметического, но не может быть больше в большее целое число раз.

Ответ: а) да; б) нет; в) 2.

106

а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого
в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого
в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.

Решение.

а) Произведение цифр числа 2529 равно 180, а сумма цифр равна 18, то есть
в 10 раз меньше.

б) Предположим, что такое число существует и , , , — его цифры. Заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе
их произведение было бы равно нулю. Имеем: . Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две
цифры «5». Так как при перестановке местами цифр числа равенство остаётся верным, то без ограничения общности можно считать, что в числе цифры и равны 5.

Тогда . Получаем противоречие.

в) Предположим, что такое число существует и , , , — его цифры. Как и выше, заметим, что среди этих цифр не может быть нулей, так как иначе их произведение было бы равно нулю. Имеем: . Правая часть этого равенства делится на 25, поэтому среди цифр найдутся две
цифры «5». Без ограничения общности будем считать, что .

Тогда . Так как правая часть последнего равенства делится
на 2, то либо , либо делится на 2. Будем считать, что на 2 делится .

Если , то , что невозможно.

Если , то ; , что невозможно.

Если , то ; ; . Число и все числа, получаемые из него перестановкой цифр, удовлетворяют условию задачи.

Если , то ; ; . Этот вариант также получается
из предыдущего перестановкой цифр.

Ответ: а) например, 2529; б) нет; в) число 8655 и все числа, получаемые
из него перестановкой цифр (всего 12 чисел).

107

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы
в каждой группе было хотя бы одночисло. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы
из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Решение.

а) Например, для групп и средние значения совпадают
и равны 7.

б) Допустим, что это возможно. Пусть все средние значения равны .
В каждой группе от 1 до 8 натуральных чисел, поэтому , где — натуральное число и . Пусть группы состоят из ,
и чисел. Тогда суммы чисел в группах равны , и соответственно, а общая сумма всех 10 чисел равна 61 и равна . Поэтому ; . Это противоречит тому, что знаменатель числа не превосходит 8.

в) Пусть группы состоят из , и чисел, а средние значения равны ,
и соответственно. Если , , , то

что противоречит условию. Значит, хотя бы одно из чисел , ,
не меньше 6,1. Поэтому максимальное из этих чисел не меньше 6,1. При этом каждое из этих чисел имеет вид , где — натуральное число
и , поэтому максимальное из этих чисел не меньше .

Покажем, что максимальное из этих чисел не может равняться .
Пусть . Тогда первая группа состоит из 8 чисел, сумма которых
равна . Значит, каждая из других двух групп состоит из одного числа, причём сумма двух чисел из второй и третьей групп равна 12.
Но тогда одно из этих чисел больше 6, поэтому максимальное среднее больше . Получаем, что максимальное из чисел , , не меньше .