Закон Ома и законы Кирхгофа для малых приращений



 

На основании метода линеаризации могут быть получены законы Ома и Кирхгофа для малых приращений.Как было показано в разделе7.6.5,при незначительномотклонении рабочей точки от исходного состояния, дифференциальное сопротивление (или дифференциальную проводимость) нелинейного резистора с достаточной точностью можно определить как отношение приращений тока и напряжения, т.е. в соответствии с формулами (7.28). Из этих формул тогда получаем:

 

I =

U

,I = G U .

(7.33)

 
   

 


R д


 

д

 


Соотношения (7.33) называются законами Ома для малых приращений.

 

Если в результате расчета нелинейной цепи исходный режим ее уже определен и требуется рассчитать лишь приращения токов или напряжений, обусловленные

 

198


изменением напряжения или тока источника, целесообразно использовать для расчетов эквивалентные схемы для приращений.Эти схемы могут быть получены изсоответствующих законов Кирхгофа для приращений.

 

Первый закон Кирхгофа: сумма приращений токов,направленных к узлуэлектрической цепи, равна сумме приращений токов, направленных от узла, или алгебраическая сумма приращений токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

m n p  
I k =∑ I k , I k =0. (7.34)
k =1 k =1 k =1  

Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепиалгебраическая сумма приращений падений напряжения на сопротивлениях контура равна алгебраической сумме приращений ЭДС, действующих в контуре:

n m  
I k R дk = E k . (7.38)
k =1 k =1  

При составлении схемы замещения для приращений следует придерживаться двух следующих правил:

1) все ЭДС и токи источников, т.е. величины E и J , заменить их приращениями

E и J ;

2) нелинейные резисторы заменить линейными сопротивлениями (или проводимостями), равными дифференциальным в рабочих точках.

Примечание –Необходимо помнить,что величина какого-либо тока илинапряжения в цепи равна алгебраической сумме ее исходного значения и приращения, рассчитанного методом линеаризации, т.е. согласно законам Ома и Кирхгофа для малых приращений. Если исходный режим работы нелинейного резистора неизвестен, то следует задаться рабочей точкой на его ВАХ и, осуществив соответствующую линеаризацию, произвести расчет, по окончании которого необходимо проверить, соответствуют ли его результаты выбранной точке. В случае их несовпадения линеаризованный участок уточняется, расчет повторяется и так до получения требуемой сходимости.

 

Численные методы расчета нелинейных цепей

 

Решение нелинейного уравнения (или системы уравнений), описывающего состояние электрической цепи, может быть реализовано приближенными численными методами.Решение находится следующим образом:на основе первой,достаточногрубой, оценки определяется начальное значение корня, после чего производится уточнение по выбранному алгоритму до вхождения в область заданной погрешности.

Наиболее широкое применение в теоретической электротехнике для расчета нелинейных резистивных цепей получили метод простых итераций (метод последовательных приближений метод Ньютона (метод касательных).

 

Метод простых итераций

 

В наиболее компактной форме метод простых итераций применяется к решению уравнений вида

x =),(7.39)f(x

где величина x представляет искомый ток или напряжение, т.е.

x = I или x = U .  

Для уравнения (7.39) тогда имеем следующий итерационный процесс:

 

x k +1= f (x k ), k =

 

,

(7.40)

 
0,n  

 


199

где x k и x k +1

— значения искомой величины

x * на k -м и(k +1)-м шаге итераций;

f ( x k )—значение функции

f ( x )на k -м шаге итерации.

       

Геометрическую интерпретацию метода можно представить, изобразив на

координатной плоскости графики функций y = f (x) и y = x . Абсцисса точки

пересечения графиков этих функций (точка

x * )и есть   решение уравнения (7.39)

(рисунок 7.21).

           

 

 

Рисунок 7.21 – Геометрическая интерпретация метода простых итераций

 

Значение x0 на рисунке 7.21 обозначает первоначальное приближение к корню x *

 

уравнения (7.39). При практических расчетах итерационный процесс (7.40) следует

завершить при достижении на очередном шаге

итерации значения x k +1 , которое  

отличается от предыдущего значения x k на величину

 
 

x k +1 x k

 

ε ,

(7.41)

 
     

где ε — заданная заранее погрешность вычислений.

 

Примечание –Начальное приближениеx0

для итерационного процесса (7.40)  

обычно находится из уравнения f (x)− x = 0 при пренебрежении в нем нелинейными членами.

 

Метод Ньютона

 

Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нелинейное уравнение задано

в виде

f (x)=0.

   

(7.42)

 
       

Допустим, что два приближенных значения x k

и x k +1

отличаются на малую

 

величину x = x k +1x k . Тогда, разложив функцию

f (x k + x)в ряд по x и  

ограничившись только двумя первыми членами ряда (что справедливо, если

x  
малая величина), получим

( x k + x)≈ f (x k )+ f ′(x k )

         
f x .  

(7.43)

 
Целесообразно выбрать x таким,чтобы f (x k +

x)=0.Тогда из(7.43)следует

 
  f (x k )          

x = x k +1 x k = f ( x k )

или


 

200


   

f (x k

)

             

x k +1

= x k

 

,

k =0,n .

(7.44)

 

f ′( x k

)

 
               

Соотношение (7.44) также определяет некоторый итерационный процесс решения нелинейного уравнения (7.42). Этот процесс называется методом Ньютона. Геометрическая интерпретация метода приведена на рисунке 7.22.

 

 

Рисунок 7.22 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона

 

В методе Ньютона также следует задать некоторое начальное приближение x0 .

 

Итерационный процесс (7.44) следует завершить по достижении условия (7.41).

 

Примечания

1

Начальное приближение x0 в методе Ньютона находится по тому же принципу,

 
что и

в методе простых итераций, т.е.

на основании уравнения f (x) = 0

при  

пренебрежении в нем нелинейными членами.

         
2

На интервале между точками x k

и x k +1 , являющимися приближенными

 

значениями корня x * уравнения (7.42), должны выполняться следующие условия:

   
   

df (x)

≠ 0 ,

d 2 f (x)

≠ 0 ,

(7.45)

 
   

dx

 

dx2

 

 
           

так как в противном случае итерационный процесс (7.44) будет расходящимся.

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 42;