Метод двух узлов при расчете цепей постоянного тока с нелинейными элементами

Для расчета цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применить метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем:

 

1) все токи I _k в параллельных ветвях схемы выражают в функции одного переменного — напряжения U₀ между двумя узлами, т.е. согласно формуле

U _k = ±E ±U₀;                                                                       (7.16)

2) строят графики зависимостей I _k (U₀ ) токов во всех k - х ветвях в функции

общей величины — напряжения U₀ . Для этого каждую из исходных кривых I _k (U _k )

 

смещают вдоль оси напряжений параллельно самой себе так, чтобы ее начало находилось в точке U₀ = E _k . Если при этом напряжение U₀ в формулу (7.16) входит со

 

знаком «–», то относительно перпендикуляра, восстановленного в точке U₀ = E _k , производят зеркальное отражение вновь построенной кривой I _k (U₀ );

 

3) графически определяют точку, в которой реализуется 1-й закон Кирхгофа, т.е. уравнение

n
∑
I k (U0)=0.	(7.17)

k =1

 

Рассмотрим практическую реализацию метода для схемы цепи, изображенной на рисунке 7.13, а.

 

 

а)                                                                                                      б)

 

Рисунок 7.13 – Схема нелинейной цепи с двумя узлами (а) и графическая интерпретация метода двух узлов (б)

 

Схема содержит три нелинейных элемента R₁ , R₂ и R₃ , вольт-амперные характеристики которых приведены на рисунке 7.14.

Выразим токи I₁ , I₂ и I₃ в ветвях схемы через узловое напряжение U₀ . Для

этого представим напряжения U1 ,	U2	и U3 на нелинейных элементах как функции
соответствующих ЭДС E1 , E2 , E3 и узлового напряжения U0 . В итоге получим:
U1= E1−U0,	U2	= E2+U0, U3= E3−U0.	(7.18)

 

190

 

 

Рисунок 7.14 – Вольт-амперные характеристики нелинейных сопротивлений

 

Графики кривых   I₁(U₀), I₂(U₀), I₃(U₀), построенные на  основании

 

уравнений (7.18), изображены на рисунке 7.13, б. Согласно 1-му закону Кирхгофа для токов I₁ , I₂ , I₃ в рассматриваемой цепи должно выполняться условие

 

I1(U0)− I2(U0)+ I3(U0)=0.

(7.19)

Точку, в которой реализуется 1-й закон Кирхгофа (7.19), определяем графически, как точку пересечения кривых (I₁ + I₃ ) с кривой I₂ , т.е. согласно следующему из (7.19) равенству:

I₁(U₀)+ I₃(U₀)= I₂(U₀).

 

На рисунке 7.13, б это точка « m ».

 

Аналитические методы расчета нелинейных цепей

 

Исследование общих свойств нелинейных цепей удобно осуществлять на основе математического анализа, базирующегося на аналитическом представлении характеристик нелинейного элемента, т.е. их аппроксимации. На выбор аналитического метода влияют условия поставленной задачи, а также характер возможного перемещения рабочей точки по характеристике нелинейного элемента: по всей характеристике или в ее относительно небольшой части.

К аналитическим методам относятся:

1) метод аналитической аппроксимации;

2) метод кусочно-линейной аппроксимации;

3) метод линеаризации.

 

Метод аналитической аппроксимации. Основные положения

 

Метод аналитической аппроксимации основан на замене вольт-ампернойхарактеристики (или ее участка) нелинейного элемента общим аналитическим выражением.

 

Пусть ВАХ нелинейного сопротивления, соответствующая некоторой функциональной зависимости y = f (x), где y = I , x = U или, наоборот, y = U , x = I , представлена в табличной форме (см. таблицу 7.1) или в виде точечной диаграммы (рисунок 7.15). При этом вид самого аналитического выражения y = f ( x ) неизвестен.

 

Таблица 7.1 – Данные измерений при экспериментальном определении ВАХ нелинейного элемента

 

x0	x1	x2	x3	K	x i	K	x n−1	x n
y0	y1	y2	y3	K	y i	K	y n−1	y n
				191

 

Рисунок 7.15 – Точечная диаграмма экспериментально снятой вольт-амперной характеристики нелинейного элемента

 

Важное практическое применение имеет следующая задача: найти аналитическое выражение зависимости y = f (x)(вольт-амперной характеристики), т.е. подобрать

функцию y = ϕ( x ) такую, чтобы y _i = ϕ(x _i )или y _i ≈ ϕ(x _i ).Функции,полученные в

 

результате решения такого рода задач, называются эмпирическими или аппроксимирующими.

Подбор аппроксимирующей функции по экспериментальным значениям (x _i ; y _i ),

 

i =0,n ,можно осуществить,исходя из различных моделей.Наиболеераспространенными из них являются метод интерполирования и метод наименьших квадратов.

 

7.6.2 Аналитическая аппроксимация по методу интерполирования Интерполированием вольт-амперной характеристики y = f ( x )нелинейного

 

элемента, представленной таблицей значений   (x _i ; y _i ), i =0,n , называется

восстановление этой характеристики с заданной степенью точности эмпирической
функцией y = ϕ( x ), удовлетворяющей условию		y i = ϕ(x i ).	Точки x0 , x1 , K ,	x n−1, x n
называют узлами интерполирования.
Геометрически задача подбора функции ϕ(x) по заданным частным значениям
ВАХ y = f ( x )	означает построение кривой	y = ϕ(x),	проходящей через	точки

плоскости с координатами ( x _i ; y _i ), i = 0,n , (рисунок 7.16).

 

Рисунок 7.16 – Геометрическая интерпретация метода интерполирования

 

 

192

Ясно, что через данные точки (x _i ; y _i ) можно провести бесконечное множество различных кривых. Следовательно, задача подбора эмпирической функции y = ϕ(x) по

 

данным значениям (узлам)	(x i ; y i ), i =		, неизвестной функции	y = f (x)не
		0,n
определена.	что функция y = ϕ(x) не произвольная,			а является
Предположим теперь,

 

многочленом степени n ( n — натуральное число, на единицу меньшее количества
узлов). Тогда задача подбора эмпирической функции ϕ( x )							приобретает более
определенный характер, так как функцию f (x) теперь требуется приближенно заменить
многочленом
P n ( x )= a n x n + a n−1x n−1+K+ a1x +a0,							(7.20)
значения которого совпадают со значениями				f (x)в узлах интерполирования:
		P n (x i )= y i ,		i =		.	(7.21)
					0,n
Многочлен P n ( x ) называется интерполяционным многочленом степени n . Для
определения коэффициентов a n , a n−1 , K , a1 , a0 многочлена P n ( x ) используют
условия (7.20), (7.21):
a n x0n		+ a n−1 x0n−1+K+ a1 x0+ a0= y0;
		+ a n−1 x1n−1+K+ a1 x1+ a0= y1;
a n x1n							(7.22)
.....................................................
	n	n−1	+ K + a1 x n + a0 = y n .
a n x n		+ a n−1 x n

В курсе высшей математики доказывается, что система уравнений (7.22) имеет единственное решение, если узлы интерполирования x₀ , x₁ , K , x _n−1 , x _n различны. Это означает, что существует единственный интерполяционный многочлен P _n (x),

 

коэффициенты которого определяются из системы (7.22).

 

При большом количестве узлов интерполирования определение коэффициентов многочлена P _n ( x ) на основании системы уравнений (7.22) связано с весьма громоздкими вычислениями, поэтому на практике используют различные (специальные) формы представления многочленов P _n (x), наиболее распространенными из которых

 

являются интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. Интерполяционным многочленом Лагранжа называется многочлен

	n				( x − x0)( x − x1)K( x − x k−1)( x − x k +1)K( x − x n )
P ( x )=	∑	y		k						.
n					( x k − x0)( x k − x1)K( x k − x k−1)( x k − x k +1)K( x k − x n )
	k =0
Интерполяционным многочленом Ньютона называется многочлен
P n ( x )= y0+				( x − x0) f (x0; x1)+(x − x0)(x − x1) f (x0; x1; x2)+K+
	+( x − x0)(x − x1)K(x − x n−1) f (x0; x1;K; x n ),
где f ( x0 ; x1 ), f ( x0 ; x1; x2 ), K , f (x0 ; x1;K; x n ) — разделенные разности:
f ( x0; x1)=			y0− y1			,	f ( x0; x1; x2)=	f (x0; x1)− f ( x1; x2)	, K ,
				x0− x1				x0− x2

_{f ( x0 ; x1;K; x n ) =} ^{f (x}0 ^{; x}1^{;K; x} n−1 )^{− f (x}1^{; x}2 ^{;K; x} n ) _. x₀− x _n

 

(7.23)

 

(7.24)

 

(7.25)

 

193

x = x i

Примечания

1 В силу единственности интерполяционного многочлена      n -й степени P _n (x)

интерполяционный многочлен Ньютона перегруппировкой членов можно преобразовать в интерполяционный многочлен Лагранжа и наоборот.

2 На практике для получения достаточно хорошего приближения ВАХ y = f (x)

вместо построения интерполяционного многочлена высокой степени используют кусочную интерполяцию многочленами более низких степеней,т.е.на каждом отрезке

[ x _k ; x _m ],где k ,m =0,n и k < m ,строится свой многочлен.Так,например,при m = k +1на отрезке [x _k ; x _{k +1} ] можно построить многочлен первой степени (кусочно-линейная интерполяция);при m = k +2на отрезке[x _k ; x _{k +2}]—многочлен второй степени(кусочно-квадратичная интерполяция) и т.д. Получающиеся при этом кусочно-многочленные функции с однородной структурой на каждом промежутке[x _k ; x _m ]

(многочлены одной и той же степени) называются сплайн-функциями или просто сплайнами,а сам метод,основанный на представлении функции сплайнами— сплайн-интерполяцией.Простейший пример линейной сплайн-интерполяции некоторойфункции y = f ( x ), представляющей ВАХ нелинейного элемента, демонстрирует

рисунок 7.17.

Рисунок 7.17 – Линейная сплайн-интерполяция вольт-амперной характеристики нелинейного элемента

7.6.3 Аналитическая аппроксимация по методу наименьших квадратов Пусть результаты измерения (x _i ; y _i ), i = 0,n , вольт-амперной характеристики

нелинейного элемента приведены в виде таблицы 7.1 или точечной диаграммы,

изображенной на рисунке 7.15. Значения ВАХ                                                                                                         y = f (x)при                                                   определены

приближенно с некоторой случайной погрешностью.

Наличие случайных погрешностей делает нецелесообразным подбор такой эмпирической функции y = ϕ( x ), которая бы точно описывала все экспериментальные

данные, т.е.график ее проходил бы через точки(x _i ; y _i ), i =0,n .В этом случаепредпочтительно подобрать такую аппроксимирующую функцию ϕ( x ), которая «сглаживала» бы случайные погрешности измерений.

Задача построения аппроксимирующей функции ϕ(x) по экспериментальным данным в рассматриваемой модели состоит из двух этапов:

194

1) определение вида аппроксимирующей функции ϕ( x ), т.е. выбор класса

 

функций, к которому принадлежит аппроксимирующая функция (линейная, квадратичная, показательная и т.д.);

 

2) определение параметров b₀ , b₁ , K , b _m аппроксимирующей функции ϕ( x,b₀ ,b₁ ,K,b _m )выбранного вида.

Пусть далее первая часть задачи решена, т.е. вид аппроксимирующей функции

ϕ( x,b₀ ,b₁ ,K,b _m )определен.Подбор параметров b₀, b₁,K, b _m этой функции по

 

методу наименьших квадратов производится таким образом,чтобы сумма квадратовотклонений экспериментальных значений y _i от ординат аппроксимирующей функции была минимальной, т.е.

n
S =∑[ y k − ϕ( x k ,b0 ,b1 ,Lb m )]2= min .	(7.26)

k =0

 

Задача определения тех значений параметров b₀ , b₁ , K , b _m , при которых функция S(b₀ ,b₁ ,Kb _m ) достигает минимума, сводится к решению системы уравнений:

dS

dS

dS

= 0 ,

= 0

, K ,

= 0 .

(7.27)

db

db

db

0

1

m

Значения параметров b0 , b1 , K , b m

для функций наиболее часто используемых

при аппроксимации ВАХ нелинейных элементов, систематизированы в таблице 7.2.

Таблица 7.2 – Параметры основных аппроксимирующих функций

Вид аппроксимирующей функции

Параметры аппроксимирующей функции

n

n

n

b

=

∑x i ∑y i − n∑x i y i

i=1

i=1

i=1

,

ϕ( x )= b1 x + b0

1

n

2

n

∑x i − n∑x i2

i=1

i=1

1

n

n

b0=

∑y i − b1∑x i

n

i=1

i=1

n

n

n

b

∑

x2+ b

∑

x

+ b n =

∑

y

;

2

i

1

i

0

i

i=1

i=1

i=1

n

n

n

n

ϕ( x )= b2 x2+ b1 x + b0

∑x i2

+ b0 ∑x i = ∑x i y i ;

b2∑x i3+ b1

i=1

i=1

i=1

i=1

n

n

n

n

∑

4

∑

3

∑

2

∑

2

b2

+ b1

+ b0

x

=

x i

x i

i

x i

y i .

i=1

i=1

i=1

i=1

1

n

n

ϕ( x )= b0 x

b1

∑ln y i − b1∑ln x i

b0 = exp

n

,

i=1

i=1

 

 

195

Продолжение таблицы 7.2

 

Вид аппроксимирующей функции

Параметры аппроксимирующей функции

n

n

n

b =

∑ln x i ∑ln y i − n∑ln x i ln y i

i=1

i=1

i=1

1

n

2

n

∑ln x i − n∑(ln x i )2

i=1

i=1

1

n

n

b0= exp

∑ln y i − b1∑x i ,

n

i=1

i=1

n

n

n

ϕ( x )= b0 exp(b1 x)

b

=

∑x i ∑ln y i

− n∑x i

ln y i

i=1

i=1

i=1

1

n

2

n

∑x i − n∑x i2

i=1

i=1

1

n

n

1

n

∑

∑ x

b

=

y

i

− b

,

0

1

i=1

i=1

i

n

n

n

ϕ( x )= b0+ b1 x

b1

=

n∑( y i x i )−∑(1 x i )∑y i

i

=1

i=1

i=1

n∑(1 x i2)−∑(1 x i

)

i=1

i=1

1

n

n

b0=

∑y i − b1∑ln x i ,

n

i=1

i=1

n

n

n

ϕ( x )= b0+ b1 ln x

b1

=

n∑( y i ln x i )

−∑y i

∑ln x i

i=1

i=1

i=1

n∑(ln x i )2−

∑ln x i

i=1

i=1

Примечание – При подборе

аппроксимирующей

функции

y = ϕ(x)следует

учитывать характер  расположения

экспериментальных

точек

( x i ; y i ),

i =

на

0,n

точечной диаграмме и сочетать его по возможности с логически-профессиональным анализом.

 

---

Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 374; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!