Действующее и среднее значение периодической несинусоидальной величины



 

Периодический несинусоидальный ток по аналогии с током синусоидальным может быть охарактеризован эффективным или действующим значением. В разделе 3.2 действующее значение периодической величины определялось в общем виде (3.7) как ее среднеквадратичное значение за период:

 

I =

 

1

T

i2(t )dt .

(4.8)

 
T  
   

0

     

Используя представление негармонического тока i(t) рядом Фурье (4.2), т.е.

 
выражением              
             

i = I0+

I km sin(k ω t +ψ ik ),

(4.9)

 
   

 

n=1

подынтегральную функцию i2 (t ) в формуле (4.8) запишем следующим образом:

 

i2(t )= I02+ I0I km sin(k ω t +ψ ik )+∑I km2 sin2

(k ω t +ψ ik )+
k =1 k =1  

 


 

98


       

+

∑∑

I km I nm sin(k ω t +ψ ik ) sin(n ω t +ψ in ).

(4.10)

 
     

 

k =1 n=1

В≠n

 

Подставляя соотношение (4.10) в формулу (4.8), после несложных преобразований получим

I 2= I 2+1I 2

0  2          km


 

или

 

I = ∑I k2

 

k =0

 

где I1 = I1m  2 , I2 = I2m  2 , K ,

 

представляющих ряд (4.9).


 

= I02+ I12+ I22+K+ I k2+K, (4.11)

 

I k = I km  2 K — действующие значения гармоник,

 


Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока согласно (4.11) равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

 

Аналогичным образом, исходя из представления напряжений и ЭДС, т.е. функций u(t e(t ),рядами Фурье(4.6),на основании формул(3.8)можно доказать,чтодействующие значения несинусоидальных напряжений и ЭДС равны:

 

   
U =

U k2, E =

E k2, (4.12)  
 

k =0

k =0    

где U k = U km 2 и E k = E km

2 ( k =

 

) —

действующие значения

гармоник

 
1,  

напряжения и ЭДС.

 

Средним значением периодической несинусоидальной величины(средневыпрямленным значением) называют ее среднее значение за половину периода. Так, например, среднее значение силы тока

T 2  
I ср = T2i(t )dt . (4.13)

0

 

Так же определяются средние значения напряжения и ЭДС:

 

2

T 2  

2

T 2    

U ср =

u(t )dt ,

E ср =

e(t )dt .

(4.14)

 
T T  

0

0

   

Отметим, что любой из интегралов (4.13), (4.14) равен среднему по модулю значению величины за период, если каждая из этих величин, например, i(t), имеет одинаковые положительные и отрицательные полуволны:

   

T

T 2  

I ср =

1

 

i(t )

 

dt =

2

i(t )dt .

 

 

 

 

T

T

 
     

0

          0  

Примечания

 

1 Из формул (4.6), представляющих разложения периодических токов, напряжений и ЭДС в ряды Фурье, и из выражений (4.4) для коэффициентов этих


 

99

разложений следует, что средние за период значения несинусоидальных величин совпадают с нулевыми гармониками (с постоянными составляющими):

I0=

1

T i(t )dt ,

U0=

1

T u(t )dt ,

E0=

1

T e(t )dt .

 
T T T  

0

0

0

 

2 Измерение несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС приборами различных систем может давать неодинаковые результаты.

 

Приборы электродинамической, электромагнитной и тепловой систем реагируют на действующие значения измеряемой величины. Магнитоэлектрические приборы сами по себе измеряют постоянную составляющую,а с выпрямителями—среднее по модулю значение.

 

4.4 Коэффициенты,            характеризующие            форму           периодических

 

Несинусоидальных величин

При оценке формы периодических несинусоидальных величин используют следующие характеристики: коэффициент формы k ф , коэффициент амплитуды k а ,

 

коэффициент искажения k и и коэффициент гармоник k г .

 

Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения ксреднему по модулю значению, например, для силы тока:

k ф =

I

.

(4.15)

 
   
 

I ср

   

Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения величины кее действующему значению:

k а =

I max

.

(4.16)

 
   
 

I

   

Коэффициент искажения определяется как отношение действующего значенияосновной гармоники к действующему значению всей величины:

k и

=

I1

.

(4.17)

 
   
   

I

   

Коэффициент гармоник равен отношению действующего значения высшихгармоник к действующему значению основной гармоники:

I k2

k =   k =2    .                                                                         (4.18)

г          I1

Примечание –Для синусоидальных токов вышеуказанные характеристики

равны: k ф = π (2 2 )≈ 1.11, k а =  2 ≈ 1.41, k и = 1 и k г = 0 .

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 46;