Примеры разложения периодических величин в ряд Фурье и основные свойства периодических кривых, обладающих симметрией



 

Коэффициенты ряда Фурье (4.4) для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Примеры разложений наиболее распространенных в электротехнике, электронике и автоматике периодических кривых представлены в таблице 4.1.


 

 

100


Таблица 4.1 – Разложения периодических кривых в ряд Фурье

 

График периодической кривой    

Формула разложения

 
             

s(t )= A m sin ω t

 
     

 

   

 

     

 

       

 

 

 

 
   

 

s(t )=

 

2 A m

 

T  

(sin ωτ sin ω t +

 
     

 

     

 

 

τ

 
             

π 2

                       
 

+

1

sin 3ωτ sin 3ω t+

 

1

sin 5ωτ sin 5ω t +K

 
  2 2  
    3                                

5

             
     

s(t )=

8A

     

 

       

1

     
           

m

sin ω t

       

sin 3ω t +

 
           

 

 

32

 
         

π 2

   

 

         
           

+

 

1

sin 5ω t −K

 
             

2

 
               

5

                               
     

s(t )=

 

4 A

 

       

1

     
               

m

 

 

sin ω t +

     

sin 3ω t +

 
           

π

 

 

3

 
                       

 

           
           

+

   

1

sin 5ω t +K

 
               

 

 
                 

5

                               

 

На рисунке 4.2 на примере прямоугольного колебания показано его представление частичными суммами ряда Фурье,содержащими одну(рисунок4.2,а),три(рисунок4.2, б) и пять (рисунок 4.2, в) гармоник.

 

 

а)                                                                 б)                                                                 в)

 

Рисунок 4.2 – Представление прямоугольного колебания частичными суммами ряда Фурье, содержащими одну (а), три (б), и пять (в) гармоник

 

ее случае кривых токов, напряжений и ЭДС, обладающих симметрией, задача представления их рядами Фурье существенно упрощается, поскольку из разложений таких кривых могут выпадать целые спектры гармоник. Рассмотрим простейшие случаи симметрии.

 

4.5.1 Симметрия относительно оси абсцисс При таком типе симметрии выполняется условие


 

101


 

T

   

s(t )=−s t +

   

,

(4.19)

 
     
   

2

   

то есть отрицательная полуволна является зеркальным изображением сдвинутой на половину периода положительной полуволны. Например, кривая трапецевидной формы (рисунок 4.3) обладает симметрией относительно оси абсцисс.

 

 

Рисунок 4.3 – Пример периодической кривой с симметрией относительно оси абсцисс

 

Ряд Фурье для таких функций не содержит постоянной составляющей и четных гармоник:

 

A0= B2= C2=K= B2k= C2k=K=0

 

и      
s(t )= ( B2k+1 sin(2 k +1)ω t + C2k+1 cos(2 k +1)ω t ). (4.20)
     
  k =0    

4.5.2 Симметрия относительно оси ординат

 

Этот тип симметрии удовлетворяет условию

 
    s(t)= s(− t). (4.21)

Например, колебание треугольной формы (рисунок 4.4) обладает указанным типом симметрии.

 

 

Рисунок 4.4 – Пример периодической кривой с симметрией относительно оси ординат

 

Ряд Фурье для функций с симметрией относительно оси ординат не содержит синусных составляющих, то есть

 

B1= B2=K= B k =K=0

 

и

       

s(t )= A0+

C k cos k ω t .

(4.22)

 
   

 

k =1


 

102


4.5.3 Симметрия относительно начала координат Такой тип симметрии наблюдается при условии

s(t )=−s(− t).                                                                      (4.23)

 

Например, прямоугольное колебание (рисунок 4.5) обладает симметрией относительно начала координат.

 

 

Рисунок 4.5 – Пример периодической кривой с симметрией относительно начала координат

 

и этом случае ряд Фурье не содержит постоянной составляющей и косинусных составляющих, то есть

 

A0= C1= C2=K= C k =K=0

 

и, следовательно,

       

s(t )=

B k sin k ω t .

(4.24)

 
   

 

в=1

 

Комплексная форма ряда Фурье. Понятие о дискретных спектрах периодических кривых токов, напряжений или ЭДС

 

Тригонометрическая форма ряда Фурье может быть преобразована в

комплексную следующим образом. Исходя из того, что

                       
   

sin k ω t =

1

 

 

j(e jk ω t e jk ω t ),

 

cos k ω t =

 

1

(e jk ω t + e jk ω t ),

   
   

2

   

2

   
                                                     

выражение, заключенное в скобки в формуле (4.3) преобразуем к виду

   
 

B

sin k ω t + C

k

cos k ω t =

1

[(C

k

+ jB )e jk ω t +(C

k

jB )e jk ω t ].

 
       
  k            

2

   

k

              k      
                                                     

Из формулы (4.4) для коэффициентов B k и C k имеем

             
   

C k + jB k =

2

s(t )e jk ω t dt ,

 

C k jB k =

2

s(t )e jk ω t dt .

 
   

T

 

T

 
                   

(T )

                  (T )              

Следовательно,

                                                         

( B sin k ω t + C cos k ω t)=

1

e jk ω t

 

s(t )e jk ω t dt +

 

1

e jk ω t

 

s(t )e jk ω t dt =

 

 

 

 

k

 

k

         

T

               

T

   
                                                         
k=1                  

k=1

  (T )              

k =1

      (T )    
   

−1

                     

                       
   

= ∑

1

e jk ω t s(t )e jk ω t dt +∑

1

e jk ω t

 

s(t )e jk ω t dt .

     
   

T

T        
   

k=  

   

(T )

 

k=1

(T )

             

Учитывая, что


 

103


 

A km >0,а

 

1

s(t )dt =

 

1

   

s(t )e

         

A0=

 

e

jk ω t jk ω t

dt

 

,

 
  T   T        
      (T )         (T )     k =0    

ряд Фурье (4.3) представим в виде

s(t )=

  1 +

S k ( jk ω)e jk ω t ,

(4.25)

 

T

 
       
      k=        

S k ( jk ω)=

s(t )e jk ω t dt .

(4.26)

 
   

(T )

Соотношение (4.25) для функции       s(t ) представляет собой ряд Фурье в

комплексной форме.В этом выражении каждой k -й гармонике отвечает сумма двухсопряженных членов (при k < 0 и k > 0 ), равная удвоенной вещественной части каждого из этих слагаемых:

и e jk ω t S k ( jk ω)+1 e jk ω t S k (− jk ω)= Re 2 e jk ω t S k ( jk ω).

TTT

Обозначив S k ( jk ω) = S k (k ω)e j α k , имеем

2

S k ( jk ω)e

jk ω t 2      

(k ω) cos(k ω t + α k

) =

2

     

(k ω) sin(k ω t +ψ k

),

 

Re

 

=

   

S k

     

S k

 
 

T

T

 

T

                                               

где ψk = α k + π 2 .

                                                   

Таким образом, величина

                                             
      2

S k (k ω)e j ψ k = j

2

S k (k ω)e j α k = j

2

S k ( jk ω)

   
      T T

T

   

представляет собой комплексную амплитуду k - й гармоники:

     
                     

A&

= A  

e j ψ k ,

                  (4.27)  

где

                   

km

km

                             
           

1

             

2

                         
         

A

=

S

 

,

 

A

=

 

S

 

( jk ω)

 

.

 

(4.28)

 
             

 

 

 

   
                         
         

0

   

T

 

0

   

km

 

T

   

k

                   
                                             

Совокупность комплексных амплитуд всех гармоник данной функции является дискретным спектром этой функции.Его можно представить на графике в виде спектра значений амплитуд и спектра значений фаз.По оси абсцисс в таком случаеоткладывают частоту, которая имеет дискретные значения , равные частотам гармоник. Затем для каждой частоты по оси абсцисс изображают отрезки, параллельные оси ординат и по длине равные амплитудам A km или начальным фазам ψ k гармоник. При

этом                             ψ k может быть как положительной, так и отрицательной. Такие

характеристики называются дискретными спектрами или дискретными частотными характеристиками —соответственно, амплитудно-частотной (АЧХ фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками.

На рисунке 4.6, а изображена временная диаграмма прямоугольного напряжения u(t ),АЧХ которого представлена на рисунке4.6,б.Ряд Фурье для прямоугольногонапряжения имеет вид (см. таблицу 4.1):

u(t )=

4U

m

  1     1      
 

sin ω t +

   

sin 3ω t +

 

sin 5ω t +K.

(4.29)

 

π

 

3

5

 
             

104


 

а)                                                                                                       б)

 

Рисунок 4.6 – Временная диаграмма прямоугольного напряжения (а)

и соответствующая АЧХ (б)

 


Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 307; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!