Лекция 4. Линейные электрические цепи при периодических негармонических воздействиях
Периодические несинусоидальные токи, напряжения и ЭДС. Понятие
Гармоническом анализе
предыдущей лекции были рассмотрены линейные электрические цепи при периодических синусоидальных напряжениях и токах. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи (см. лекцию 7) обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.
общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данной лекции рассматриваются линейные электрические цепи только с периодическими переменными (токами, напряжениями, ЭДС).
Периодическими несинусоидальными токами (напряжениями,ЭДС)называютэлектрические токи (напряжения, ЭДС), изменяющиеся по периодическому несинусоидальному закону.
Пример периодических несинусоидальных величин демонстрируют временные диаграммы токов i(t), приведенные на рисунке 4.1
Рисунок 4.1 – Временные диаграммы периодических несинусоидальных токов
Анализ электрических цепей при периодических несинусоидальных воздействиях проводят путем представления функций i = i(t), u = u(t), e = e(t ), то есть токов,
напряжений и ЭДС, в виде рядов Фурье. Раздел математики, который изучает возможности такого представления, называется гармоническим анализом.
|
|
|
Представление несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС в виде рядов Фурье
Периодический несинусоидальный сигнал s(t) (ток, напряжение, ЭДС)
96
характеризуется промежутком времени (периодом) T , таким что
s(t )= s(t ± T ). (4.1)Если функция s(t ), задающая этот сигнал, удовлетворяет условиям Дирихле (имеет
конечное число разрывов 1-го рода и конечное число экстремумов), она может быть представлена тригонометрическим рядом Фурье
| ∞ | ||||||||
| s(t )= A0+ | ∑ | A km | sin(k ω t +ψ k ). | (4.2) | ||||
| Величина A0 | k =1 | |||||||
| в выражении (4.2) называется постоянной составляющей или нулевой | ||||||||
| гармоникой сигнала,функция A1m sin(ω t +ψ1)— основной синусоидой | или | первой | ||||||
| гармоникой, | функции A km sin(k ω t +ψ k ) при | k >1— высшими гармониками, | а вся | |||||
| совокупность | гармоник — спектром | сигнала.Частота ω =2π f =2π T | называется | |||||
основной частотой (частотой следования),коэффициенты A km и ψ k — амплитудами и начальными фазами гармоник.Совокупность коэффициентов A km образует амплитудный спектр сигнала,совокупность коэффициентов ψ k —его фазовый спектр.Их распределение по частотной оси отображают спектральными диаграммами
|
|
|
(спектрограммами).
Для вычисления коэффициентов ряда Фурье его гармонические составляющие
| запишем в форме | ||||||||||||||||||||||||||||||
| A km sin(k ω t +ψ k )= A km cos ψ k sin k ω t + A km sin ψ k cos k ω t = | ||||||||||||||||||||||||||||||
| Таким образом, | = B k sin k ω t + C k cos k ω t . | |||||||||||||||||||||||||||||
| s(t )= A0+ | ∞ | ( B k sin k ω t + C k cos k ω t). | (4.3) | |||||||||||||||||||||||||||
| ∑ | ||||||||||||||||||||||||||||||
| A0 | k =1
| B k | и C k | |||||||||||||||||||||||||||
| Постоянная составляющая | и коэффициенты | определяются с помощью | ||||||||||||||||||||||||||||
| интегралов | ||||||||||||||||||||||||||||||
| A0= | 1 | ∫s(t )dt , | B k = | 2 | ∫s(t )sin k ω tdt , | C k = | 2 | ∫s(t )cos k ω tdt , | (4.4) | |||||||||||||||||||||
| T | T | T | ||||||||||||||||||||||||||||
| (T ) | (T ) | (T ) | (− T 2;T 2),(0;T ) | |||||||||||||||||||||||||||
| где интегрирование проводится на интервале периода T , например, | ||||||||||||||||||||||||||||||
| и т.д. | A km | и ψ k | формулы | (4.2) и | ||||||||||||||||||||||||||
| Установим | связь | между | коэффициентами | |||||||||||||||||||||||||||
| коэффициентами B k и C k | формулы (4.3). Поскольку B k = A km cos ψ k , C k = A km sin ψ k , | |||||||||||||||||||||||||||||
| то | (cos2 ψ | )= A2, | sin ψ k | C k | ||||||||||||||||||||||||||
| B2+ C 2= A2 | k | + sin2 ψ | k | tg ψ | k
| = | = |
| ||||||||||||||||||||||
| k | k | km | km | cos ψ k | B k | |||||||||||||||||||||||||
| и, следовательно, | ||||||||||||||||||||||||||||||
| C k | ||||||||||||||||||||||||||||||
| A | = B2 | + C 2, | ψ | k | = arctg | . | (4.5) | |||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||
| km | k | k | B k | |||||||||||||||||||||||||||
Формулы (4.2) – (4.5) составляют основу гармонического анализа, согласно которому, любой периодический негармонический сигнал можно представить как
97
| совокупность | постоянной составляющей | A0 и бесконечного числа гармонических | ||||
| составляющих | A km sin(k ω t +ψ k ). | Так, | например, для негармонического тока, | |||
| напряжения и ЭДС допустимы следующие представления: | ||||||
| ∞ | ∞ | |||||
| i = I0+∑I km sin(k ω t +ψ ik ), | u = U0+∑U km sin(k ω t +ψ uk ), | |||||
| k =1 | k =1 | |||||
| ∞ | ||||||
| e = E0+ | ∑ | E km sin(k ω t +ψ ek ), | (4.6) | |||
k =1
где i , u , e — мгновенные значения этих величин, I0 , U0 , E0 — постоянные составляющие, I km , U km , E km — амплитуды гармоник, ψ ik , ψ uk , ψ ek — начальные фазы гармоник.
Примечание –Функцияs(t),определяющая негармонический сигнал,как и
всякая периодическая функция (независимо от свойств симметрии), обладает следующими свойствами:
Q сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода T есть периодическая функция периода T ;
R если функция s(t ) имеет период T , то функция s = s(at) ( a ≠ 0 ) имеет период
T a ;
определенный интеграл от периодической функции s(t ) с периодом T по
| любому отрезку длиной T имеет | одно и то же значение, то | есть при любом t |
| справедливо равенство | ||
| ∫T | s (t )dt = t∫+T s(t )dt . | (4.7) |
| 0 | t |
Дата добавления: 2019-07-15; просмотров: 239; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!